Question

【題目】已知，如圖1，過(guò)點(diǎn)E（0，-1）作平行于x軸的直線(xiàn)l，拋物線(xiàn)y=x2上的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1和4，直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接CF、DF．

（1）求點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)；

（2）求證：CF⊥DF；

（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y=x2對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PO交x軸于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得△OPQ與△CDF相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，），B（4，4），∴F（0，1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）P1（2，1）、P2（8，16）

【解析】

試題分析：（1）待定系數(shù)法求解即可．

（2）在Rt△CEF中算出△DEF邊長(zhǎng)利用勾股定理證明CF⊥DF；

（3）求存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，看是否找到符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題分兩種情況；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根據(jù)比例求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）如圖1，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=；當(dāng)x=4時(shí)，y=4

∴A（-1，），B（4，4）

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b

則，解得

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=x+1

當(dāng)x=0時(shí)，y=1

∴F（0，1）

（2）在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，

根據(jù)勾股定理得：CF2=CE2+EF2=12+22=5，

∴CF=

在Rt△DEF中，DE=4，EF=2

∴DF2=DE2+EF2=42+22=20

∴DF=2

由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）

∴CD=5

∴CD2=52=25

∴CF2+DF2=CD2

∴∠CFD=90°

∴CF⊥DF

（3）存在．如圖2作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M

又∵PQ⊥OP

∴Rt△OPM∽Rt△OQP

∴∴

設(shè)P（x，x2）（x＞0），

則PM=x2，OM=x

①當(dāng)Rt△QPO∽Rt△CFD時(shí)，

∴

解得x=2∴P1（2，1）

②當(dāng)Rt△OPQ∽Rt△CFD時(shí)，

∴

解得x=8

∴P2（8，16）

綜上，存在點(diǎn)P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ與△CDF相似．