【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=m,BC=4,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P為邊CD上的動點(diǎn)(點(diǎn)P異于C,D兩點(diǎn)).連接PM,過點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E(如圖).

設(shè)CP=x,DE=y.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若點(diǎn)P在線段DC上運(yùn)動時,點(diǎn)E總在線段AD上,求m的取值范圍;

(3)當(dāng)m=8時,是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)F落在邊AB上?若存在,求x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)、y=x2+mx;(2)、m4;(3)、x=2

【解析】

試題分析:(1)、由CPM∽△DEP得=由此即可解決問題.(2)、y=x2+mx,根據(jù)函數(shù)的最大值是4,列出不等式即可解決問題.(3)、存在,過P作PH垂直于AB,由對稱的性質(zhì)得到:PD=PD=8x,ED=ED=y=x2+4x,EA=ADED=x24x+4,PDE=D=90°,在RtDPH中,PH=4,DP=DP=8x,根據(jù)勾股定理表示出DH,再由EDA∽△DPH,由相似得比例,將各自表示出的式子代入,可列出關(guān)于x的方程,求出方程的解即可得到滿足題意的x的值.

試題解析:(1)、PEPM,∴∠EPM=90°, ∴∠DPE+CPM=90° 又矩形ABCD,∴∠D=90°

∴∠DPE+DEP=90°, ∴∠CPM=DEP,又C=D=90°, ∴△CPM∽△DEP, =,

又CP=x,DE=y,AB=DC=m,DP=mx, 又M為BC中點(diǎn),BC=4,CM=2, =,y=x2+mx.

(2)、由題意:x2+mx4, 4, m232, m>0 m4

(3)、存在,過P作PHAB于點(diǎn)H,

點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)D落在邊AB上, PD=PD=8x,ED=ED=y=x2+4x,EA=ADED=x24x+4,PDE=D=90°, 在RtDPH中,PH=4,DP=DP=8x,

根據(jù)勾股定理得:DH=,

∵∠EDA=180°﹣90°﹣∠PDH=90°﹣∠PDH=DPH,PDE=PHD=90°,

∴△EDA∽△DPH, , 整理得:x24x+2=0,

解得:x=2± 當(dāng)x=2+時,y=5+2>4,

此時,點(diǎn)E在邊DA的延長線上,D關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)不可能落在邊AB上,所以舍去.

當(dāng)x=2時,y=52<4,此時,點(diǎn)E在邊AD上,符合題意.

所以當(dāng)x=2時,點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)D落在邊AB上.

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時間x(天)

1x<50

50x90

售價(元/件)

x+40

90

每天銷量(件)

2002x

已知該商品的進(jìn)價為每件30元,設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天銷售利潤最大,最大利潤是多少?

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計算:(﹣ )÷( +
方法一:原式=(﹣ )÷[( + )﹣( + )]=(﹣ )÷( )=﹣ ×3=﹣
方法二:原式的倒數(shù)為( + )÷(﹣ )=( + )×(﹣30)=﹣20+3﹣5+12=﹣10
故原式=﹣
通過閱讀以上解題過程,你認(rèn)為哪種方法更簡單,選擇合適的方法計算下題:
(﹣ )÷( + ).

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