【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的邊AB在x軸上,∠ABC=90°,AB=BC,OA=1,OB=4,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖①,點(diǎn)P是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)P,Q分別向x軸作垂線,垂足為點(diǎn)D,E,記矩形DPQE的周長(zhǎng)為d,求d的最大值,并求出使d最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖②,點(diǎn)M是拋物線上位于直線AC下方的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F,連接MC,作MN∥BC交直線AC于點(diǎn)N,若MN將△MFC的面積分成2:3兩部分,請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:由已知得:A(﹣1,0)、C(4,5),

∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)C(4,5),

,

解得

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣4)


(2)

解:由(1)知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

設(shè)點(diǎn)P為(t,t2﹣2t﹣3),﹣1<t<3

∵P、Q為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn),

∴PQ=2|t﹣1|,

當(dāng)t>1時(shí),d=2[2(t﹣1)+(﹣t2+2t+3)]=﹣2t2+8t+2=﹣2(t﹣2)2+10,

∵﹣2<0,

∴當(dāng)t=2時(shí),d有最大值為10,即P(2,﹣3);

當(dāng)t<1時(shí),由拋物線的對(duì)稱性得,點(diǎn)P為(0,﹣3)時(shí),d有最大值10,;

綜上,當(dāng)P為(0,﹣3)或(2,﹣3)時(shí),d有最大值10


(3)

解:過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H,過(guò)C作CG⊥MN于G,則∠ANM=∠ACB=45°,

∵M(jìn)F⊥AC,

∴FH= MN,

= = ,

∵A(﹣1,0,C(4,5),

∴直線AC的解析式為y=x+1,

設(shè)M(m,m2﹣2m﹣3),其中﹣1<m<4,則CG=4﹣m,

由MN∥BC得,N(m,m+1),

∴MN的長(zhǎng)為:(m+1)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m+4,

當(dāng) = 時(shí),則3MN=4CG,即3(﹣m2+3m+4)=4(4﹣m),

解得m1= ,m2=4(舍去),

∴M( ,﹣ ),

當(dāng) = 時(shí),則2MN=6CG,即2(﹣m2+3m+4)=6(4﹣m),

解得m3=2,m4=4(舍去),

∴M(2,﹣3).

綜上,當(dāng)M的坐標(biāo)為( ,﹣ )或(2,﹣3)時(shí),MN將△MFC的面積分成2:3兩部分.


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;(2)設(shè)點(diǎn)P為(t,t2﹣2t﹣3),﹣1<t<3,因?yàn)閷?duì)稱軸x=1,所以PQ=2|t﹣1|,然后分三種情況討論即可求得;(3)過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H,過(guò)C作CG⊥MN于G,則∠ANM=∠ACB=45°,進(jìn)而求得FH= MN,從而得出 = = ,根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1,設(shè)M(m,m2﹣2m﹣3),其中﹣1<m<4,則CG=4﹣m,由MN∥BC得N(m,m+1),求得MN的長(zhǎng)為:(m+1)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m+4,然后分兩種情況:當(dāng) = 時(shí),則3MN=4CG;當(dāng) = 時(shí),則2MN=6CG;列出關(guān)于m的方程,解方程即可求得M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí),掌握一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù),以及對(duì)二次函數(shù)的圖象的理解,了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).

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【題目】利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的作法如下:

①以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OA、OB于點(diǎn)D、C;

②作射線O′B′,以點(diǎn)O′為圓心,以   長(zhǎng)為半徑畫弧,交O′B′于點(diǎn)C′;

③以點(diǎn)C′為圓心,以   長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)D′;

④過(guò)點(diǎn)D′作射線O′A′,∴∠A′O′B′為所求.

(1)請(qǐng)將上面的作法補(bǔ)充完整;

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(1)若從中任取一球,球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少?
(2)若從中任取一球(不放回),再?gòu)闹腥稳∫磺,?qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.
(3)若設(shè)計(jì)一種游戲方案:從中任取兩球,兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為1為甲勝,否則為乙勝,請(qǐng)問這種游戲方案設(shè)計(jì)對(duì)甲、乙雙方公平嗎?說(shuō)明理由.

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