Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（﹣1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；
（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，﹣2），

∴b=0，c=﹣2；

∵y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），

∴0=a+0﹣2，a=2，

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣2．

當(dāng)y=0時(shí)，2x2﹣2=0，

解得x=±1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）

（2）

解：設(shè)P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：

① 若△OCB∽△DBP，則 ，

即 = ，

解得n= ．

由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，

∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m， ）或（m， ），

∵點(diǎn)P在第一象限，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， ）

②若△OCB∽△DPB，則 ，

即 = ，

解得n=2m﹣2．

由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，

∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），

∵P在第一象限，m＞1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m﹣2）

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m， ），（m，2m﹣2）

（3）

解：方法一：

假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP與△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分兩種情況：

①當(dāng)P（m， ）時(shí)，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合題意舍去）；

②當(dāng)P（m，2（m﹣1））時(shí)，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），

∴ ，

解得 ， （均不合題意舍去）；

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)Q．

方法二：

若在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)Q，

①∵B（1，0），P（m， ），

點(diǎn)Q可視為點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，

將點(diǎn)P平移至原點(diǎn)，得P′（0，0），則點(diǎn)B′（1﹣m， ），

將點(diǎn)B′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)Q′（ ，m﹣1），

將點(diǎn)P′平移回P（m， ），則點(diǎn)Q′平移后即為點(diǎn)Q，

∴Q（ ， ），

將點(diǎn)Q代入拋物線得：m2﹣m=0，

∴m1=1，m2=0，

∴Q1（1，0），Q2（0，﹣ ）（均不合題意舍去），

②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），

同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），

將點(diǎn)Q代入拋物線得：3m﹣3=2（2﹣m）2﹣2，

∴2m2﹣11m+9=0，

∴m1=1，m2= ，

∴Q1（1，0），Q2（﹣ ， ）（均不合題意舍去）

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)Q．

【解析】（1）由于拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），所以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2，即b=0，c=﹣2，再將A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，則D與O對(duì)應(yīng)，所以當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得出n與m的關(guān)系式，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．過點(diǎn)Q作QE⊥l于點(diǎn)E．利用AAS易證△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分兩種情況討論：①P（m， ）；②P（m，2（m﹣1））．都根據(jù)BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結(jié)合條件x＞0且m＞1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．