【題目】我們規(guī)定:函數(shù)y=(a、b、k是常數(shù),k≠ab)叫奇特函數(shù).當a=b=0時,奇特函數(shù)y=就是反比例函數(shù)y=(k是常數(shù),k≠0).

(1)如果某一矩形兩邊長分別是2和3,當它們分別增加x和y后,得到新矩形的面積為8.求y與x之間的函數(shù)表達式,并判斷它是否為奇特函數(shù);

(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的頂點A、C坐標分別為(6,0)、(0,3),點D是OA中點,連接OB、CD交于E,若奇特函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點B、E,求該奇特函數(shù)的表達式;

(3)把反比例函數(shù)y=的圖象向右平移4個單位,再向上平移 個單位就可得到(2)中得到的奇特函數(shù)的圖象;

(4)在(2)的條件下,過線段BE中點M的一條直線l與這個奇特函數(shù)圖象交于P,Q兩點(P在Q右側),如果以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16,請直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)y=是奇特函數(shù).(2)奇特函數(shù)的表達式為y=(3)2,見解析(4)P在原坐標系中的坐標為(4+2+4,﹣2+2)即(2+8,).

【解析】

試題分析:(1)只需運用矩形的面積公式就可求出函數(shù)關系式,從而解決問題;

(2)可先求出直線OB和直線CD的解析式,求出它們的交點E的坐標,然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題;

(3)只需將(2)中所求的奇特函數(shù)y=轉(zhuǎn)化為y=2+,就可解決問題;

(4)將坐標原點平移到點M的位置,構建新的坐標系,在新的坐標系中,分點P在點B的左邊和右邊兩種情況討論,只需先求出點P在新坐標系下的坐標,就可求出點P在原坐標系下的坐標.

解:(1)由題意得:(2+x)(3+y)=8.

即3+y=,

y=﹣3=

根據(jù)定義,y=是奇特函數(shù).

(2)如圖1,

由題意得:B(6,3)、D(3,0),

設直線OB的解析式為y=mx,

則有6m=3,

解得:m=,

直線OB的解析式為y=x.

設直線CD的解析式為y=kx+b,

,

解得:,

直線CD的解析式為y=﹣x+3.

解方程組,得

,

點E(2,1).

將點B(6,3)和E(2,1)代入y=

,

解得:,

奇特函數(shù)的表達式為y=

(3)y===2+

把反比例函數(shù)y=的圖象向右平移4個單位,再向上平移2個單位,

就可得到奇特函數(shù)y=的圖象;

故答案為:2.

(4)滿足條件的點P的坐標為(2+4)或(2+8,).

提示:①若點P在點B的左邊,如圖2①,

以點M為原點,構建如圖2①所示的新坐標系,

在該坐標系下該奇特函數(shù)的解析式為y′=,點B的新坐標為(2,1).

直線PQ與雙曲線y′=都是以點M為對稱中心的中心對稱圖形,

MP=MQ

MB=ME,

四邊形BPEQ是平行四邊形,

SBPEQ=4SBMP=16,

SBMP=4.

過點P作PGx′軸于G,過點B作BHx′軸于H,

根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得:

SPGM=SBHM=×2=1,

SBMP=SPGM+S梯形BHGP﹣SBHM=S梯形BHGP=4,

設點P在新坐標系中的坐標為(x′,),

則有S梯形BHGP=(1+)(2﹣x′)=4,

解得x1′=﹣4﹣2(舍去),x2′=﹣4+2

當x=﹣4+2時,==+2,

即點P在新坐標系中的坐標為(﹣4+2,+2),

點P在原坐標系中的坐標為(﹣4+2+4,+2+2)即(2,);

②若點P在點B的右邊,如圖2②,

同理可得:

點P在原坐標系中的坐標為(4+2+4,﹣2+2)即(2+8,).

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(3)在ABC中,AB>AC>BC,ACB=80°,點D、E分別在直線AB上,且AD=AC,BE=BC,則求DCE的度數(shù)(直接寫出答案);

(4)如圖(3),在ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,點D、E在直線AB上,且AD=AC,BE=BC.請根據(jù)題意把圖形補畫完整,并在圖形的下方直接寫出DCE的面積.(如果有多種情況,圖形不夠用請自己畫出,各種情況用一個圖形單獨表示).

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