Question

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過A、B、C三點(diǎn)作拋物線。

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；并直接寫出直線BC、直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1） ∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C， ∴由條件可得RtΔAOC∽ RtΔCOB， ∴，由A、B坐標(biāo)∴，解得OC=3（負(fù)值舍去），∴C（0，-3） 設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=， ∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2） ∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0）， ∵點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D， ∴∠BCD=45°，連結(jié)O′D，則∠BO′D=90°（同弦BD所對的圓心角） ∴D （4，-5）， 直線BC解析式為y=x-3 、直線BD解析式為y=x-9 （3）①當(dāng)DP1∥CB時(shí)，能使∠PDB=∠CBD， 又∵DP1∥CB， ∴設(shè)直線DP1的解析式為y=x+n， 把D（4，-5）代入可求n=-， ∴直線DP1解析式為y=x-， DP1與拋物線的交點(diǎn)滿足x-=x2-x-3 ∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為 ②當(dāng)CQ∥BD時(shí)，求得圓上點(diǎn)Q（7，4），直線DQ與拋物線交于點(diǎn)P2 （14，25）。 （答案不唯一）