Question

如圖，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，9），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，6），點(diǎn)P為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交⊙A于點(diǎn)N、直線CD⊥AP于點(diǎn)C，交PN于點(diǎn)D，交⊙A于E、F兩點(diǎn)，且PC：CA=2：3．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)使得點(diǎn)E為劣弧

PN

的中點(diǎn)時(shí)，求證：DF=DN；
（2）在（1）的條件下求tan∠CDP的值；
（3）當(dāng)⊙A的半徑為5，且△APD的面積取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接NF，由CD⊥AP，根據(jù)垂徑定理得到弧PE=弧PF，而弧PE=弧NE，則弧EN=弧PF，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠PNF=∠EFN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AE、AN，AE交PN于Q點(diǎn)，弧PE=弧NE，根據(jù)垂徑定理的推論得到AE⊥PN，而CD⊥AP，則∠DCP=∠AQP=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠QAP=∠CDP，由PC：CA=2：3，不妨設(shè)⊙A的半徑為5k，則CA=3k，AE=5k，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理計(jì)算EC=

(5k)2-(3k)2

=4k，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠CDP=tan∠EAC=

4k

3k

=

4

3

；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PB于Q，由⊙A的半徑為5，PC：CA=2：3，得到PC=2，易證Rt△PCD∽R(shí)t△PQA，則PD：PA=PC：PQ，所以PD=

PC•PA

PQ

=

2×5

PQ

=

10

PQ

，當(dāng)PQ最小時(shí)，PD最大，而AQ≤AB，則AQ=AB時(shí)，AQ最大，此時(shí)AB⊥PB，由PQ=

PA2-AQ2

，得到此時(shí)PQ最小，則PD最大，又因?yàn)镃D=

PD2-PC2

，得到此時(shí)CD最大，即AB⊥PB時(shí)，CD最大，由S_△APD=

1

2

AP•DC得到此時(shí)△APD的面積也達(dá)到最大，
由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，9），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，6），可得AB=3，利用勾股定理可計(jì)算出PB=4，于是可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，9），或（10，9）．

解答：（1）證明：如圖，連接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE=弧PF，
又∵點(diǎn)E為劣弧PN的中點(diǎn)，
∴弧PE=弧NE，
∴弧EN=弧PF，
∴∠PNF=∠EFN，
∴DF=DN；

（2）解：如圖，連接AE、AN，AE交PN于Q點(diǎn)，
∵弧PE=弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP=∠AQP=90°，
∴∠QAP=∠CDP，
∵PC：CA=2：3，不妨設(shè)⊙A的半徑為5k，則CA=3k，AE=5k，
在Rt△ACE中，EC=

(5k)2-(3k)2

=4k，
∴tan∠CDP=tan∠EAC=

4k

3k

=

4

3

；

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PB于Q，如圖，
∵⊙A的半徑為5，PC：CA=2：3，
∴PC=2，
∵∠PCD=∠PQA=90°，
∴Rt△PCD∽R(shí)t△PQA，
∴PD：PA=PC：PQ，
∴PD=

PC•PA

PQ

=

2×5

PQ

=

10

PQ

，
當(dāng)PQ最小時(shí)，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ=AB時(shí)，AQ最大，此時(shí)AB⊥PB，
而PQ=

PA2-AQ2

，
此時(shí)PQ最小，則PD最大，
又∵CD=

PD2-PC2

，
∴此時(shí)CD最大，
即AB⊥PB時(shí)，CD最大，如圖，
而S_△APD=

1

2

AP•DC，
∴此時(shí)△APD的面積也達(dá)到最大，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，9），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，6），
∴AB=3，
∴PB=

PA2-AB2

=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，9），或（10，9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧；平分弦所對(duì)弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)可得到線段的比例關(guān)系；運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行幾何計(jì)算．