如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M,有下面4個(gè)結(jié)論:
①BD是∠ABC的角平分線;
②△BCD是等腰三角形;
③△ABC∽△BCD;
④△AMD≌△BCD.
(1)判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個(gè)?
(2)從你認(rèn)為是正確的結(jié)論中選一個(gè)加以證明.

【答案】分析:(1)利用等腰三角形和線段垂直平分線的性質(zhì)分析.
(2)先①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC=∠ACB,再根據(jù)中垂線的性質(zhì)證明.
解答:解:(1)連接BD,
①∵AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB==72°,
∵AB垂直平分線交AC于D,交AB于M,
∴根據(jù)中垂線的性質(zhì),中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
有AD=BD,∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°,
∴BD平分∠ABC,故正確;

②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形.故正確;

③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C,
∴△ABC∽△BCD,故正確;

④∵∠AMD=90°≠∠C=72°,
∴△AMD與△BCD不是全等三角形.故不正確.
∴①、②、③命題都正確.正確的結(jié)論是①、②、③;

(2)證明:BD平分∠ABC,
∵AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB==72°,
∵AB垂直平分線交AC于D,交AB于M,
∴根據(jù)中垂線的性質(zhì),中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.有AD=BD,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°,
∴BD平分∠ABC.
點(diǎn)評(píng):本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和判定:等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊.線段的中垂線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理.
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