Question

【題目】如圖1，在中，為銳角，點為射線上一點，聯(lián)結，以為一邊且在的右側作正方形．

（1）如果，，

①當點在線段上時（與點不重合），如圖2，線段所在直線的位置關系為 ，線段的數量關系為 ；

②當點在線段的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如果，是銳角，點在線段上，當滿足什么條件時，（點不重合），并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②見解析;（2）見解析.

【解析】

（1）①根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；

（2）過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，證得AC=AG，根據（1）的結論于是得到結果．

（1）①正方形ADEF中，AD=AF．

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF．

在△DAB與△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

故答案為垂直、相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；

（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC=90°．

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG．

在△GAD與△CAF中，，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．