Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱軸為直線，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．

【解析】

試題（1）設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)已知得到C（0，﹣3），A（﹣1，0），代入得到方程組，求出方程組的解即可；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)F，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)（2，﹣3），設(shè)直線AG為，代入得到，求出方程組的解得出直線AG為，設(shè)P（x，），則F（x，﹣x﹣1），PF，根據(jù)三角形的面積公式求出△APG的面積，化成頂點(diǎn)式即可；

（3）存在．根據(jù)MN∥x軸，且M、N在拋物線上，得到M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)M為（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），當(dāng)∠QMN=90°，且MN=MQ時(shí)，由△MNQ為等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)∠QNM=90°，且MN=NQ時(shí)，同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，當(dāng)∠NQM=90°，且MQ=NQ時(shí)，過Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，則QE=MN，根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的軸對(duì)稱性，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為，

由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，

由，令x=2，則y=－3，∴點(diǎn)G為（2，－3），

設(shè)直線AG為，∴，解得：，即直線AG為，

設(shè)P（x，），則F（x，－x－1），PF．

∵，

∴當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，

（3）存在．

∵M(jìn)N∥x軸，且M、N在拋物線上，∴M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)M為（，）且，∴，

當(dāng)∠QMN=90°，且MN=MQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，

∴，即或，

解得，（舍）或，（舍），

∴點(diǎn)M為（，）或（，），∴點(diǎn)Q為（，0）或（，0），

當(dāng)∠QNM=90°，且MN=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，同理可求點(diǎn)Q為（－，0）或（，0），

當(dāng)∠NQM=90°，且MQ=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，

過Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，則QE=MN，，

∵方程有解，∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對(duì)稱性知點(diǎn)Q為（1，0），

綜上所述，滿足存在滿足條件的點(diǎn)Q，分別為（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．