Question

如圖，⊙O的直徑=6cm，是延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙O的切線，切點(diǎn)為，連接．

(1)若30°，求PC的長；
(2)若點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，你認(rèn)為∠的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠的值．

Answer 1

（1）PC=；（2）∠CMP=45°，即∠CMP的大小不發(fā)生變化．

試題分析：（1）在圓中線段利用由切線定理求得∠OCP=90°，進(jìn)而利用直角三角形PCO中的線段，結(jié)合解直角三角形求得PC即可．
（2）先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP=90°，再利用角平分線和圓周角的性質(zhì)得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不發(fā)生變化．
試題解析：
解：（1）連接，
PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°．
∵30°，OC==3，
∴，即PC=．
（2）∠CMP的大小不發(fā)生變化．
∵PM是∠CPA的平分線，
∴∠CPM=∠MPA．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．
在△APC中，
∵∠A＋∠ACP＋∠CPA=180°，
∴2∠A＋2∠MPA=90°，∠A＋∠MPA=45°．
∴∠CMP=∠A＋∠MPA=45°．即∠CMP的大小不發(fā)生變化．