Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（

2

，a）（a＞0），半徑為

2

，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為2．
（1）試判斷y軸與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)d和r的大小關(guān)系即可判斷y軸與圓的位置關(guān)系；
（2）過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，連接PA并延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)C．分別求出PA、AC，相加即可．

解答：解：（1）答：y軸與⊙P相切，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

，a)．
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為

2

，
∵⊙P的半徑為

2

，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離=⊙P的半徑，
∴y軸與⊙P相切；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，
連接PA并延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)C，
∵PE⊥AB，AB=2∴AE=

1

2

AB=1，
∵PA=

2

，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：PE=1，
∴PE=AE，∴∠PAE=45°，
∵函數(shù)y=x的圖象與y軸的夾角為45°，
∴y軸∥PA，∴∠PCO=90°，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

2

，
∵A點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

，
∴PC=2

2

，
∴a=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線(xiàn)的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)求出線(xiàn)段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45°．