【題目】如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,ABC=DEF=90°,EDF=30°,

【操作1】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上,再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn),并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Q.

在旋轉(zhuǎn)過程中,如圖2,當時,EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并給出證明.

【操作2】在旋轉(zhuǎn)過程中,如圖3,當時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?,并說明理由.

【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果,試寫出當時,EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系是什么?其中m的取值范圍是什么?(直接寫出結(jié)論,不必證明).

【答案】0m2+

【解析】

試題分析:(操作1)連接BE,根據(jù)已知條件得到E是AC的中點,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE,PBE=C.根據(jù)等角的余角相等可以證明BEP=CEQ.即可得到全等三角形,從而證明結(jié)論;

(操作2)作EMAB,ENBC于M、N,根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明MEP∽△NWQ,發(fā)現(xiàn)EP:EQ=EM:EN,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM:EN=AE:CE;

(總結(jié)操作)根據(jù)(2)中求解的過程,可以直接寫出結(jié)果;要求m的取值范圍,根據(jù)交點的位置的限制進行分析.

試題解析:(操作1)EP=EQ,

證明:連接BE,根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì),得:BE=CE,PBE=C=45°,

∵∠BEC=FED=90°

∴∠BEP=CEQ,

BEP和CEQ中

∴△BEP≌△CEQ(ASA),

EP=EQ;

如圖2,EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2,

理由是:作EMAB,ENBC于M,N,

∴∠EMP=ENC,

∵∠MEP+PEN=PEN+NEF=90°,

∴∠MEP=NEF,

∴△MEP∽△NEQ,

EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2;

如圖3,過E點作EMAB于點M,作ENBC于點N,

在四邊形PEQB中,B=PEQ=90°,

∴∠EPB+EQB=180°,

∵∠EPB+MPE=180°,

∴∠MPE=EQN,

RtMEPRtNEQ,

,

RtAMERtENC,

,

,

EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式1:m,即EQ=mEP,

0m2+,(因為當m2+時,EF和BC變成不相交).

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選手





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0.016

0.022

0.025

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