【題目】已知,在等腰ABC中,ABACADBC于點(diǎn)D,以AC為邊作等邊ACE,直線BE交直線AD于點(diǎn)F.如圖,60°≤BAC≤120°,ACFABC在直線AC的同側(cè).

(1)①補(bǔ)全圖形;

②∠EAF+CEF   ;

(2)猜想線段FAFB,FE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)若BC=2,則AF的最大值為   

【答案】(1)①圖形如圖 1 所示;②結(jié)論:∠EAF+∠CEF=60°,理由見(jiàn)解析;(2)結(jié)論:FA=FE+FB.理由見(jiàn)解析;(3)AF 的最大值為

【解析】

(1)①根據(jù)要求畫出圖形,如圖1所示;
②結(jié)論:∠EAF+∠CEF=60°如圖1中,以A為圓心,AB為半徑畫圓.作AH⊥BEH.首先證明∠EBC=∠FAH=30°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;
(2)結(jié)論:FA=FE+FB.如圖2中,在FA上取一點(diǎn)K,使得FK=FE,連接EK.只要證明△AEK≌△CEF(SAS),即可解決問(wèn)題;
(3)因?yàn)?/span>60°≤∠BAC≤120°,所以觀察圖象可知,當(dāng)∠BAC=60°時(shí),AF的值最大,求出AD,DF即可解決問(wèn)題;

(1)①圖形如圖 1 所示;

②結(jié)論:∠EAF+CEF=60°

理由:如圖 1 中,以 A 為圓心,AB 為半徑畫圓.作 AHBE H.

AB=AC=AE,

B,E,C 在⊙A 上,

∵△AEC 是等邊三角形,

∴∠EAC=60°,

∴∠EBC=EAC=30°,

AB=AE,AHBE,

∴∠EAH= BAE,

∵∠BCE= BAE,

∴∠BCE=EAH,

ADBC,

∴∠BDF=AHF=90°,BFD=60°,

∴∠HAF=30°,

∴∠EAF+CEF=EAF+EBC+BCE=EAF+EAH+EBC=30°+30°=60°.

(2)結(jié)論:FA=FE+FB.

理由:如圖 2 中,在 FA 上取一點(diǎn) K,使得 FK=FE,連接 EK.

FE=CK,EFK=60°,

∴△EFK 是等邊三角形,

EK=EF,EKF=KEF=60°,

∵∠AEC=KEF=60°,

∴∠AEK=CEF,

AE=EC,EK=EF,

∴△AEK≌△CEF(SAS),

AK=FC,

AD 垂直平分線段 BC,

FB=CF,

FA=FK+AK=FE+FC=FE+FB.

如圖 3 中.

60°≤BAC≤120°,

觀察圖象可知,當(dāng)∠BAC=60°時(shí),AF 的值最大, 此時(shí)∵AB=AC=BC=2,AFBC,

AD=ABsin60°=,DF=BDtan30°= ,

AF=+= ,

AF 的最大值為

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