Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+3 經(jīng)過點A（3，0），G（﹣1，0）兩點．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若點M時拋物線在第一象限圖象上的一點，求△ABM面積的最大值；
（3）拋物線的對稱軸交x軸于點P，過點E（0， ）作x軸的平行線，交AB于點F，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、G點坐標代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+2 x+3

（2）解：作ME⊥x軸交AB于E點，如圖1

，

當x=0時，y=3 ，即B點坐標為（0，3 ）

直線AB的解析式為y=﹣ x+3 ，

設(shè)M（n，﹣ n2+2 n+3 ），E（n，﹣ n+3 ），

ME═﹣ n2+2 n+3 ﹣（﹣ n+3 ）=﹣ n2+5 n，

S△ABM= MExA= （﹣ n2+5 n）×3=﹣ （n﹣ ）2+ ，

當n= 時，△ABM面積的最大值是

（3）解：存在；理由如下：

OE= ，AP=2，OP=1，BE=3 ﹣ = ，

當y= 時，﹣ x+3 = ，解得x= ，即EF=

將△BEP繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3），

∵OB⊥EF，

∴點B'在直線EF上，

∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO﹣PO長度，

∴C點坐標為（﹣ ， ﹣1），

過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，

則△FEQ∽△B'EC，

由 = = = ，

可得Q的坐標為（﹣ ，﹣ ）；

根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點Q'（﹣ ， ）也符合條件．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得ME的長，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．（3）即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．