Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點(diǎn)D在AC上，CD=3厘米．點(diǎn)P、Q分別由A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動，速度為每秒1厘米．設(shè)運(yùn)動的時間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y1平方厘米，△PCQ的面積為y2平方厘米．

（1）求y1與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫出y1的圖象；
（2）如圖2，y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，12），求點(diǎn)P的速度及AC的長；
（3）在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)0＜OG＜6，過G作EF垂直于x軸，分別交y1、y2的圖象于點(diǎn)E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實(shí)際意義；
②當(dāng)0＜x＜6時，求線段EF長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S△DCQ= CQCD，CD=3，CQ=x，

∴y1= x（0＜x＜8）．圖象如圖所示；

（2）解：S△PCQ= CQCP，CP=8k﹣xk，CQ=x，

∴y2= ×（8k﹣kx）x=﹣ kx2+4kx．

∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，12），

∴﹣ k42+4k4=12．

解得k= ．

則點(diǎn)P的速度每秒 厘米，AC=12厘米；

（3）解：①觀察圖象，知線段的長EF=y2﹣y1，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．

②由（2）得y2=﹣ x2+6x．

∴EF=﹣ x2+6x﹣ x=﹣ x2+ x=﹣ （x2﹣6x+9）+ =﹣ （x﹣3）2+ ，

∵二次項(xiàng)系數(shù)小于0，

∴在0＜x＜6范圍，

當(dāng)x=3時，EF= 最大．

【解析】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)Q點(diǎn)的速度可以用時間x表示出CQ的長，可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出y1，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）首先找出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得y2的函數(shù)式，然后根據(jù)其頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定k的取值．已知了P點(diǎn)走完AC用時8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于y2，x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出k的值；
（3）由于EF平行與y軸，所以EF=y2-y1，即三角形PCQ和CDQ的面積差即三角形PDQ的面積，然后由EF=y2-y1可得出EF的長度與x的函數(shù)關(guān)系式，最后，利用配方法可求得EF的最大值.