【題目】已知四邊形中,,垂足為點,.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點為上一點,連接,,求證:;
(3)在(2)的條件下,如圖3,點為上一點,連接,點為的中點,分別連接,,+==,,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)如圖1中,作DF⊥BC延長線于點F,垂足為F.證明△ABH≌△DCF(HL),即可解決問題.
(2)如圖2中,設(shè)∠BAH=α,則∠B=90°α;設(shè)∠ADE=β則∠CED=2∠ADE+2∠BAH=2α+2β.證明∠ECD=∠EDC即可.
(3)延長CM交DA延長線于點N,連接EN,首先證明△ECD為等邊三角形,延長PD到K使DK=EQ,證明△EQC≌△DKC(SAS),推出∠DCK=∠ECQ,QC=KC,推出∠PCK=∠DCK+∠PCD=30°=∠PCQ,連接PQ.證明△PQC≌△PKC(SAS)推出PQ=PK,可得PK=PD+DK=PD+EQ=5+2=7,作PT⊥QD于T,∠PDT=60°,∠TPD=30°,作CR⊥ED于R,勾股定理解直角三角形求出RC,RQ即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,作DF⊥BC延長線于點F,垂足為F.
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠DFC=90°,
∵AD∥BC,
∴∠ADF+∠AFD=180°,
∴∠ADF=180°90°=90°,
∴四邊形AHFD為矩形,
∴AH=DF,
∵AH=DF,AB=CD,
∴△ABH≌△DCF(HL)
∴∠B=∠DCF,
∴AB∥CD.
(2)如圖2中,設(shè)∠BAH=α,則∠B=90°α;設(shè)∠ADE=β,
則∠CED=2∠ADE+2∠BAH=2α+2β.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠B=∠ADC=90°α,
∴∠EDC=∠ADC∠ADE=90°αβ,
在△EDC中,∠ECD=180°∠CED∠EDC=180°(90°αβ)(2α+2β)=90°αβ
∴∠EDC=∠ECD,
∴EC=ED.
(3)延長CM交DA延長線于點N,連接EN,
∵AD∥BC,
∴∠ANM=∠BCM,
∵∠AMN=∠BMC、AM=MB,
∴△AMN≌△BMC(AAS)
∴AN=BC,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AD=BC,
∴AD=AN,
∵AD∥BC,
∴∠DAH=∠HAD=90°,
∴EN=ED,
∵ED=EC,
∴EC=DE=EN,
∴∠ADE=∠ANE,∠ECM=∠ENM,
∵∠ADE+∠ECM=30°,
∴∠DEC=∠ADE+∠DNE+∠NCE,
=∠ADE+∠ANE+∠ENC+∠DCN
=2(∠ADE+∠ECM)=2×30°=60°.
∵EC=ED,
∴△ECD為等邊三角形,
∴EC=CD,∠DCE=60°,延長PD到K使DK=EQ,
∵PD∥EC,
∴∠PDE=∠DEC=60°,∠KDC=∠ECD=60°,
∴∠KDC=∠DEC,EC=CD,DK=EQ,
∴△EQC≌△DKC(SAS),
∴∠DCK=∠ECQ,QC=KC,
∵∠ECQ+∠PCD=∠ECD∠PCQ=60°30°=30°,
∴∠PCK=∠DCK+∠PCD=30°=∠PCQ,
連接PQ.
∵PC=PC,∠PCK=∠PCQ, QC=KC,
∴△PQC≌△PKC(SAS)
∴PQ=PK,
∵PK=PD+DK=PD+EQ=5+2=7,
作PT⊥QD于T,∠PDT=60°,∠TPD=30°,
∴TD=PD=,PT==,
在Rt△PQT中,QT=,
∴QD=,
∴ED=8+2=10,
∴EC=ED=10,作CR⊥ED于R,∠DEC=60°∠ECR=30°,
∴ER=EC=5,RC=,RQ=52=3
在Rt△QRC中,CQ=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于O,EF過點O與AD,BC分別交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司投資銷售一種進(jìn)價為每件15元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)該公司每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不動,△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),連接BE,CD,F(xiàn)為BE的中點,連接AF.
(1)如圖①,當(dāng)∠BAE=90°時,求證:CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時,(1)的結(jié)論是否成立?請結(jié)合圖②說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷,經(jīng)過調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價x(元∕件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天銷售量y(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)研究發(fā)現(xiàn),每天銷售量y與單價x滿足一次函數(shù)關(guān)系,求出y與x的關(guān)系式;
(2)當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定,該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件,那么銷售單價定為多少時,工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“愛滿揚州”慈善一日捐活動中,學(xué)校團(tuán)總支為了了解本校學(xué)生的捐款情況,隨機抽取了50名學(xué)生的捐款數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制成統(tǒng)計圖.
(1)這50名同學(xué)捐款的眾數(shù)為 元,中位數(shù)為 元;
(2)求這50名同學(xué)捐款的平均數(shù);
(3)該校共有600名學(xué)生參與捐款,請估計該校學(xué)生的捐款總數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)的圖象交于點A(﹣3,2).
(1)試確定上述正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象回答,在第二象限內(nèi),當(dāng)x取何值時,反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值?
(3)P(m,n)是反比例函數(shù)圖象上的一動點,其中﹣3<m<0,過點P作直線PB∥x軸,交y軸于點B,過點A作直線AD∥y軸,交x軸于點D,交直線PB于點C.當(dāng)四邊形OACP的面積為6時,請判斷線段BP與CP的大小關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=kx+b交x軸于點A,交y軸于點B,直線y=2x﹣4交x軸于點D,與直線AB相交于點C(3,2).
(1)根據(jù)圖象,寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集;
(2)若點A的坐標(biāo)為(5,0),求直線AB的解析式;
(3)在(2)的條件下,求四邊形BODC的面積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com