【題目】如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,BD、CE交于點F.
(1)求證:BD=CE;(2)求銳角∠BFC的度數.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠BFC=60°.
【解析】
(1)根據等邊三角形的性質得出AE=AD,再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,得出∠DAB=∠EAC,利用SAS可證得△EAC≌△DAB,從而可得出結論.
(2)根據△EAC≌△DAB可得∠ECA=∠DAB,從而在△BFC中可得∠ECA+∠FBC=60°,結合∠ACB=60°,利用三角形的內角和定理可得出∠BFC的度數.
(1)證明:∵△ABC和△ADE均為等邊三角形,
∴AE=AD、AB=AC,
又∵∠EAD=∠BAC=60°,∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,即∠DAB=∠EAC,
在△EAC和△DAB中,
,
∴△EAC≌△DAB,
即可得出BD=CE.
(2)由(1)△EAC≌△DAB,可得∠ECA=∠DBA,
又∵∠DBA+∠DBC=60°,
在△BFC中,∠ECA+∠DBC=60°,∠ACB=60°,
則∠BFC=180°-∠ACB-(∠ECA+∠DBC)=180°-60°-60°=60°.
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【題目】在中,為直線上一點,為直線上一點,
(1)如圖1,當在上,在上時,求證;
(2)如圖2,當在的延長線上,在的延長線上時,點在上,連接,且,求證:
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接當平分時,將沿著折至探究與的數量關系.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,D是BC上的一點,且滿足∠BAD= ∠C,以AD為直徑的⊙O與AB,AC分別相交于點E,F.
(1)求證:直線BC是⊙O的切線;
(2)連接EF,若tan∠AEF= ,AD=4,求BD的長.
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【題目】按下面程序計算,即根據輸入的判斷是否大于500,若大于500則輸出,結束計算,若不大于500,則以現在的的值作為新的的值,繼續(xù)運算,循環(huán)往復,直至輸出結果為止.若開始輸入的值為正整數,最后輸出的結果為656,則滿足條件的所有的值是__.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的直線互相垂直,垂足為D,且AC平分∠DAB.
(1)求證:DC為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC=6,求CD的長.
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【題目】如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知AE=c,這時我們把關于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.
請解決下列問題:
寫出一個“勾系一元二次方程”;
求證:關于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有實數根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一個根,且四邊形ACDE的周長是,求△ABC面積.
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【題目】如圖,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)AE與FC會平行嗎?說明理由;
(2)AD與BC的位置關系如何?為什么?
(3)BC平分∠DBE嗎?為什么.
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【題目】已知,點A、B、C在同一條直線上,點M為線段AC的中點、點N為線段BC的中點.
(1)如圖,當點C在線段AB上時:
①若線段,求的長度.
②若AB=a,求MN的長度.
(2)若,求MN的長度(用含的代數式表示).
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【題目】在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,點P在線段BC上(不含點B),∠BPE= ∠ACB,PE交BO于點E,過點B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點G.
(1)當點P與點C重合時(如圖①),求證:△BOG≌△POE;
(2)結合圖②,通過觀察、測量、猜想: 與 的關系,并證明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖③),若AC=8,BD=6,直接寫出 的值.
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