Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉90°，使點A落在OC邊上的點E處，拋物線y=ax2+bx+c過A、E、B三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若M為拋物線的對稱軸上一動點，當△MBE的周長最小時，求M點的坐標；

（3）點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BO向點O運動．P點到達終點Ｂ時，Q點同時停止運動，運動時間為t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3（2）（2，1）（3）2， ，

【解析】試題分析：（1）先求出A、B、E三點坐標，再將A、B、E三點坐標代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；（2）由題意可知：M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，△MBE的周長最小，先求出直線AE的解析式，進而可求得點M的坐標；（3）根據(jù)題意，△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：①若PD=PQ；②若PD=DQ；③若PQ=DQ.

試題解析：

（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．又∵OE=OA=3，

∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，E三點，∴

解之得：

∴拋物線的解析式為：y=x2-4x+3．

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2．

∵點A，B關于直線x=2對稱，∴M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，ME+MB的值最小，而BE的長一定，此時△MBE的周長最�。�

設直線AE的解析式為y=kx+m，則有

解得 ∴y=-x+3．

當x=2時，y=1，

∴M點的坐標為（2，1）

（3）①若BP=BQ，則4-t=t，t=2

②若QP=QB，作QD⊥AB于D，則BD=（4-t），

由（4-t）：4=t：5得t=

③若QP=PB，作PE⊥QB于E，則BE=t，

由（4-t）：5=t：4得t=