【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,下列四個(gè)判斷:①當(dāng)x>0時(shí),y>0;②若a=-1,則b=4;③拋物線上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1< x2,且x1+x2>2,則y1> y2;④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,點(diǎn)G,F分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=2時(shí),四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6.其中正確判斷的序號(hào)是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
【解析】試題分析:①當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)圖象過(guò)一四象限,當(dāng)0<x<b時(shí),y>0;當(dāng)x>b時(shí),y<0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
②二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣=1,當(dāng)a=﹣1時(shí)有=1,解得b=3,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
③∵x1+x2>2,
∴>1,
又∵x1﹣1<1<x2﹣1,
∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn),
∴y1>y2,故本選項(xiàng)正確;
④如圖,作D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′,連接D′E′,D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值.當(dāng)m=2時(shí),二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣1+2+3=4,D為(1,4),則D′為(﹣1,4);C點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,3);則E為(2,3),E′為(2,﹣3);則DE==;D′E′=;所以四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
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(2)如果BD是⊙O的切線,D是切點(diǎn),E是OB的中點(diǎn),當(dāng)BC=2時(shí),求AC的長(zhǎng).
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