Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)），與y軸相交于C點(diǎn)，且AB=10．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖2，D點(diǎn)在x軸上，且在A點(diǎn)的右側(cè)，E點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，連接ED交拋物線于第二象限內(nèi)的另外一點(diǎn)F，點(diǎn)E到y軸的距離與點(diǎn)F到y軸的距離之比為3：1，已知tan∠BDE=，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G由B出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動，連接EG，點(diǎn)H在線段EG上，連接DH，∠EDH=∠EGB，過點(diǎn)E作EK⊥DH，與拋物線相應(yīng)點(diǎn)E，若EK=EG，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）E（﹣3，8）；（3）K(-11，-8).

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出對稱軸，由AB=10，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求出的值，即可解答；
（2）作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，FN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，FT⊥EM，垂足為點(diǎn)T.得到四邊形FTMN為矩形，由, ,得到∠BDE=∠EFT，所以設(shè)設(shè) 得到 再由解得 代入函數(shù)關(guān)系式即可解答；
（3）作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)K作KR⊥ED，與ED相交于點(diǎn)R，與x軸相交于點(diǎn)Q.再證明∴△EGM≌△EKR，求出 直線RQ的解析式為： 設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為代入拋物線解析式可得x=11,，即可解答．

試題解析：(1)由

可得對稱軸為x=4

∵AB=10，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，

∴c=3

∴拋物線的解析式為

(2)如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，FN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，FT⊥EM，垂足為點(diǎn)T.

∴四邊形FTMN為矩形，

∴, ,

∴∠BDE=∠EFT，

設(shè)

∵過點(diǎn)E.F，

則

解得m=0(舍去)或m=1，

當(dāng)m=1時(shí)，3m=3，

∴E(3,8).

(3)如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)K作KR⊥ED，與ED相交于點(diǎn)R，與x軸相交于點(diǎn)Q.

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∴ED=10，

∴DR=2，

可求

∴直線RQ的解析式為： 設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式可得x=11,

∴K(11,8).