Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA＝OD＝2，OC＝OE＝4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與F、G不重合），作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．
（1）若經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝－x²＋（2b－1）x＋c－5，則b＝         ，c＝         （直接填空）
（2）①以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為         （直接填空）
②若拋物線頂點(diǎn)為N，又PE＋PN的值最小時(shí)，求相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).
（3）連結(jié)QN，探究四邊形PMNQ的形狀：
①能否成為平行四邊形
②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）b＝2，c＝9；（2）①P（2，4）或（1，3）；②P；（3）①若四邊形PMNQ為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，②若四邊形PMNQ為等腰梯形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo) 為.

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)易求對稱軸，利用對稱軸公式來求b的值；根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)來求c的值.
（2）①分兩種情況：∠EDP=90°和EPD=90°.
②以直線AD為對稱軸，作點(diǎn)N的對稱點(diǎn)N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.
（3）設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2，根據(jù)PQNM是平行四邊形，則PQ=MN，即可求得PM的長，判斷是否成立，從而確定；根據(jù)①的解法即可確定P的坐標(biāo)．
（1）如圖1，∵OA=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）．
∴拋物線對稱軸為.
又 過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x²+（2b-1）x+c-5，
∴，c-5=4，解得 b=2，c=9.
（2）①設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+2（k≠0）．
∵A（-2，0），∴0=-2k+2，解得 k=1.
∴直線AD的解析式為：y=x+2．
如圖1，過點(diǎn)E作EP∥x軸交直線AD與點(diǎn)P，則∠PED=90°．
∴把y=4代入y=x+2，得x=2，則P（2，4）．∴ED=EP．
過點(diǎn)E作EP′⊥直線AD于點(diǎn)P′，則∠EP′D=90°．
∴點(diǎn)P′是線段DP的中點(diǎn)．∴P′（1，3）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，4）或（1，3）．
②如圖2，作點(diǎn)N關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
所以 P.
（3）點(diǎn)M坐標(biāo)是，點(diǎn)N坐標(biāo)是，∴MN=.
①設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2.
如圖3，能成為平行四邊形，若P′Q′NM是平行四邊形形，則P′Q′=MN，可得x₁=，x₂=，
當(dāng)x₂=時(shí)，點(diǎn)P′與點(diǎn)M重合；
當(dāng)x₁=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
②如圖3，能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點(diǎn)H，作PJ⊥MN于點(diǎn)J，則NH=MJ，
則，解得：x=.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．