Question

【題目】(本題滿(mǎn)分9分)

劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖①、②．圖①中，，，；圖②中，，，．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動(dòng)．在移動(dòng)過(guò)程中，、兩點(diǎn)始終在邊上(移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合)．

(1)在沿方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：、兩點(diǎn)間的距離逐漸 ▲ ．

(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：

問(wèn)題①：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，、的連線與平行?

問(wèn)題②：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形?

問(wèn)題③：在的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得?如果存在，

求出的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）變小

（2）

①cm時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形

③不存在這樣的位置，使得

【解析】

（1）變小

（2）問(wèn)題①：解：∵，，，

∴.

∵,,

∴.

連結(jié)，設(shè).

∴,在中，DC=4.

∴=12-4.

即cm時(shí)，

問(wèn)題②：解：設(shè)當(dāng)，

在中，.

（Ⅰ）當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,.

(Ⅱ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,（不符合題意，舍去）.

(Ⅲ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,,

=144-248<0,

∴方程無(wú)解.

∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，

當(dāng)時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

問(wèn)題③不存在這樣的位置，使得.

假設(shè)，由,得.作的平分線，交于,

則,

∴.

∴,.

∴.

∴不存在這樣的位置，使得.