【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;
(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)CM=MN,且∠CMN=90°時(shí),求此時(shí)△CMN的面積.

【答案】
(1)

解:把點(diǎn)A(4,0),B(1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,得 解得:

∴拋物線表達(dá)式為:y=﹣x2+4x


(2)

解:拋物線對(duì)稱軸為x=﹣ =2.

∵點(diǎn)C,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3).

∴BC=2,

∴SABC= ×2×3=3


(3)

解:過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D.

設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+4m),

根據(jù)題意得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,

∴SABP=SABH+S四邊形HAPD﹣SBPD,即6= ×3×3+ (3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣ (m﹣1)(3+m2﹣4m).

整理得:3m2﹣15m=0,

解得:m1=0(舍去),m2=5,

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,﹣5)


(4)

解:當(dāng)CM=MN,且∠CMN=90°時(shí),分情況討論:

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí),如圖2所示:

∵∠CMN=90°,

∴∠BMC+∠NMH=90°.

又∵∠BMC+∠BCM=90°,

∴∠NMH=∠BCM.

在△BCM和△HMN中 ,

∴△CBM≌△MHN.

∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,

∴M(1,2),N(2,0),

由勾股定理得:MC= = ,

∴SCMN= × × =

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),如圖3所示:構(gòu)造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°,

∴∠NME+∠CMD=90°.

∵∠ENM+∠EMN=90°,

∴∠CMD=∠ENM.

在Rt△NEM和Rt△MDC中

∴Rt△NEM≌Rt△MDC.

∴EM=CD=5,MD=ME=2,

由勾股定理得:CM= = ,

∴SCMN= × × =

綜上所述:△CMN的面積為:


【解析】(1)把點(diǎn)A(4,0),B(1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,求得a、b的值,從而得到拋物線的解析式;(2)先求得拋物線對(duì)稱軸為x=2,由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到點(diǎn)C的坐標(biāo),從而得到BC的長(zhǎng),然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可(3)過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+4m),則BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,然后依據(jù)SABP=SABH+S四邊形HAPD﹣SBPD , 列出關(guān)于m的方程,從而可求得m的值于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí),先證明三角形△CBM≌△MHN,從而可求得BC=MH=2,BM=1,于是可得到點(diǎn)M,N的坐標(biāo),然后依據(jù)勾股定理求得MC的長(zhǎng),最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可;②如圖3所示:當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),過點(diǎn)M作平行與x軸的直線,然后分別過點(diǎn)N和點(diǎn)C作x軸的垂線,從而可構(gòu)造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC,接下來,再證明Rt△NEM≌Rt△MDC,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到EM=CD=5,MD=ME=2,然后依據(jù)勾股定理可求得CM的長(zhǎng),最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

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2)補(bǔ)全直方圖;

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