Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點．
（1）求證：AE∥平面PCD；
（2）記平面PAB與平面PCD的交線為l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中點，

∴AD∥CE，且AD=CE，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE∥CD，

∵AE平面PCD，CD平面PCD，

∴AE∥平面PCD

（2）解：連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，

則四邊形ABED是正方形，∴AE⊥BD，

∵PD=PB=2，O是BD中點，∴PO⊥BD，

則PO= = = ，

又OA= ，PA=2，∴PO2+OA2=PA2，

∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，

∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，

以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0， ），A（﹣ ），B（0， ，0），E（ ），D（0，﹣ ，0），

∴ =（﹣ ）， =（0， ）， =（0， ）， =（2 ，0，0），

設(shè) =（x，y，z）是平面PAB的法向量，

則 ，取x=1，得 ，

設(shè) =（a，b，c）是平面PCD的法向量，

則 ，取b=1，得 =（0，1，﹣1），

cos＜ ＞= =0，

∴二面角C﹣l﹣B的余弦值為0．

【解析】（1）推導出四邊形ADCE是平行四邊形，從而AE∥CD，由此能證明AE∥平面PCD．（2）連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，推導出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，從而PO⊥平面ABCD，以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值．