Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=1．

（2）①當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．②S=﹣m2+m（0≤m≤3）．

【解析】

試題分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱軸x=﹣可得出對(duì)稱軸的解析式．

（2）PF的長就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．

根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．

（3）可將三角形BCF分成兩部分來求：

一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．

一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，即可求出三角形PFB的面積．

然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式．

解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=1．

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

解得：．

所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x+3．

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．

∴D（1，4）

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m2+3m=2，

解得：m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．

因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF

即S=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB．

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．