【題目】在平面直角坐標系xOy中,正方形ABCD的頂點分別為A(0,4)、B(﹣4,0)、C(0,﹣4)、D(4,0),對于圖形M,給出如下定義:點P為圖形M上任意一點,點Q為正方形ABCD邊上任意一點,如果P、Q兩點間的距離有最大值,那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”,記作d(M).
(1)已知點E(0,2),G(﹣1,﹣1).
①如圖1,直接寫出d(點E),d(點G)的值;
②如圖2,扇形EOF圓心角∠EOF=45°,將扇形EOF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角(0<α<180°)得到扇形E'OF',當d(扇形E'OF')取最大值時,求α角的取值范圍;
(2)點P為平面內(nèi)一動點,且滿足d(點P)=6,直接寫出OP長度的取值范圍.
【答案】(1)①d(點E)=6,d(點G);②45°<α<90°或135°<α<180°;(2)2≤OP≤.
【解析】
(1)①根據(jù)“正方距”的定義,d(點E)=EC,d(點G)=GA.
②觀察圖象可知當扇形OE′F′與x軸的正半軸或y軸的負半軸有交點時,d(扇形E′OF′)取最大值,由此寫出α的范圍即可.
(2)如圖3中,分別以A,B,C,D為圓心,6為半徑畫弧,得到圖中的4條弧(紅線),當點P在圖中紅線上時,d(點P)=6,求出OP的最大值以及最小值即可解決問題.
(1)①如圖1中,連接AG.
由題意:d(點E)=EC=6,d(點G)=GA.
②觀察圖象可知當扇形OE'F'與x軸的正半軸或y軸的負半軸有交點時,d(扇形E'OF')取最大值,
所以45°<α<90°或135°<α<180°時,滿足條件.
(2)如圖3中,分別以A,B,C,D為圓心,6為半徑畫弧,得到圖中的4條弧(紅線),當點P在圖中紅線上時,d(點P)=6,
設圖中P(m,m).
∵PB=6,
∴m2+(4+m)2=36,
解得:m=﹣2或﹣2(舍棄),
∴P(﹣2,﹣2),
∴OP的最大值=OPm=﹣22,
∵OP的最小值=OP'=2,
∴2≤OP≤﹣22.
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【題目】某商品的進價為每件20元,售價為每件30元,每個月可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月就會少賣出10件,但每件售價不能高于35元,設每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù)),每個月的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;求x為何值時y的值為1920?
(2)每件商品的售價為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】在平面直角坐標系中,,(),以為直徑畫圓⊙,點為⊙上一動點.
(1)判斷坐標原點是否在⊙上,并說明理由;
(2)若點在第一象限,過點作軸,垂足為,連接,且,當時,求線段的長:
(3)若點是的中點,試問隨著的變化點的坐標是否發(fā)生變化,若不變,求出點的坐標;若變化,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0) B(1,3)兩點,點C 、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點B作直線BH⊥x軸,交x軸于點H
(1)求拋物線的解析式.
(2)直接寫出點C的坐標,并求出△ABC的面積.
(3)點P是拋物線BA段上一動點,當△ABP的面積為3時,求出點P的坐標.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△ADE,點C的對應點E恰好落在AB上.
(1)求∠DBC的度數(shù);
(2)當BD時,求AD的長.
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【題目】打折前,買20件A商品和30件B商品要用2200元,買50件A商品和10件B商品要用2900元.若打折后,買40件A商品和40件B商品用了3240元,比不打折少花多少錢?
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【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A(-1,0),B(5,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直x軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位,當點C落在拋物線上時,求m的值;
(3)在(2)的條件下,當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點.試探究:在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】設△ABC,點P是平面內(nèi)的任意一點(A、B、C三點除外),若點P與點A、B、C中任意兩點的連線的夾角為直角時,則稱點P為△ABC的一個勾股點.
(1)如圖1,若點P是△ABC內(nèi)一點,∠A=50°,∠ACP=10°,∠ABP=30°,試說明點P是△ABC的一個勾股點.
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點D是AB的中點,點P在射線CD上,若點P是△ABC的勾股點,則CP= ;
(3)如圖3,四邊形ABDC中,DB=DA,∠BCD=45°,AC=,CD=3.則點D能否是△ABC的勾股點,若能,求出BC的長:若不能,請說明理由.
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【題目】某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點建立直角坐標系.
(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;
(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)?
(3)經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設施做如下設計改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.
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