Question

【題目】如圖，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AB是⊙O的弦．過(guò)點(diǎn)B作BC∥AD，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，交AD于點(diǎn)D．連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：PC與圓O相切，理由為：

過(guò)C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，如圖，

∵CE為直徑，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC與圓O相切

（2）解：∵AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM= BC=3，

∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM= =6 ，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6 ﹣r）2=r2，解得r= ，

∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，

∴BE=2OM= ，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽R(shí)t△CEB，

∴ = ，

即 = ，

∴PC= ．

【解析】（1）由CE為直徑，得到∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC，得到內(nèi)錯(cuò)角相等即∠ACD=∠BAC，根據(jù)圓周角性質(zhì)從而得到∠E=∠BCP，得到結(jié)論P(yáng)C與圓O相切；（2）根據(jù)切線和平行線的性質(zhì)，得到BM=CM= BC，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到AC=AB，根據(jù)勾股定理求出AM的長(zhǎng)，求出⊙O的半徑，由∠E=∠MCP，得到Rt△PCM∽R(shí)t△CEB，從而求出PC的長(zhǎng).