Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H，連CH、CG．
（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數(shù)；并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；
（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中

∴△CDG≌△CBG（HL），
（2）解：∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中

∴△CHO≌△CHD（HL）
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四邊形AEBD可為矩形
如圖，

連接BD、DA、AE、EB
因?yàn)樗倪呅蜛EBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對(duì)角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．
因?yàn)镈G=BG，所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等，則其為矩形．
所以當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形．
∵四邊形DAEB為矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）
則HO=x
∵OH=DH，BG=DG
∴HD=x，DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x
∴（x+3）2=32+（6﹣x）2
∴x=2
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
【解析】（1）求證全等，觀察兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而CG為公共邊，進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可，因?yàn)槠錇檎�方形旋轉(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．
（2）上問(wèn)的結(jié)論，本題一般都要使用才能求出結(jié)果．所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH，也有對(duì)應(yīng)邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對(duì)角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．由上幾問(wèn)知DG=BG，所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點(diǎn)的坐標(biāo)，可以設(shè)其為（x，0），則OH=x，AH=6﹣x．而B(niǎo)G為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá)，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進(jìn)而求出x，推得H坐標(biāo)．