【題目】如圖,⊙O為等邊△ABC的外接圓,AD∥BC,∠ADC=90°,CD交⊙O于點E.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若DE=2,求陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2)6﹣
【解析】
(1)連接AO并延長交BC于F,易知AF⊥BC,根據(jù)AD∥BC可得AD⊥OA, 進而可得結(jié)論;
(2)連接AE、OE,易證AF∥CD,則∠ACD=∠CAF=∠BAC=30°,從而∠AOE=60°,進而可證明△AOE是等邊三角形,于是OA=AE,∠OAE=60°,可得∠DAE=30°,然后由30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AE與AD的長,再根據(jù)陰影部分的面積=梯形OADE的面積﹣扇形AOE的面積,代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算即得答案.
(1)證明:連接AO并延長交BC于點F,如圖1所示,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AF⊥BC,
∵AD∥BC,
∴AD⊥OA,
∴AD是⊙O的切線;
(2)解:連接AE、OE,如圖2所示,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°,
∵∠ADC=90°,
∴CD⊥AD,
∴AF∥CD,
∴∠ACD=∠CAF=∠BAC=30°,
∴∠AOE=2∠ACD=60°,
∵OA=OE,
∴△AOE是等邊三角形,
∴OA=AE,∠OAE=60°,
∴∠DAE=30°,
∵∠ADC=90°,
∴OA=AE=2DE=4,AD=DE=2,
∴陰影部分的面積=梯形OADE的面積﹣扇形AOE的面積=(2+4)×2﹣=6﹣.
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【題目】如圖,直線 y=x+1 與 y 軸交于點 A1,以 OA1為邊,在 y 軸右側(cè)作正方形 OA1B1C1,延長 C1B1交直線 y=x+1 于點 A2,再以 C1A2為邊作正方形,…,這些正方形與直線 y=x+1 的交點分別為 A1,A2,A3,…,An,則點 Bn 的坐標(biāo)為_______.
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【題目】李叔叔和張阿姨栽樹.李叔叔栽6棵樹所用的時間與張阿姨栽5棵樹所用的時間相同,已知李叔叔比張阿姨平均每天多栽20棵樹.
(1)求李叔叔平均每天栽樹的棵數(shù);
(2)由李叔叔和張阿姨同時栽樹1540棵,要幾天完成?
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【題目】如圖,方格紙中的每個小正方形的邊長都為1,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上.
(1)以點A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1,畫出△AB1C1;
(2)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A2B2C2,若點B的坐標(biāo)為(-2,-2),則點B2的坐標(biāo)為_________.
(3)若△A2B2C2可看作是由△AB1C1繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,則點P的坐標(biāo)為______.
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【題目】《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學(xué)”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一,共三卷,上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則,中卷舉例說明籌算分?jǐn)?shù)法和開平方法,都是了解中國古代籌算的重要資料,下卷收集了一些算術(shù)難題,“雞兔同籠”便是其中一題.下卷中還有一題,記載為:“今有甲乙二人,持錢各不知數(shù).甲得乙中半,可滿四十八;乙得甲太半,亦滿四十八.問甲、乙二人持錢各幾何?”意思是:“甲、乙兩人各有若干錢,如果甲得到乙所有錢的一半,那么甲共有錢48文.如果乙得到甲所有錢的,那么乙也共有錢48文.問甲、乙二人原來各有多少錢?”設(shè)甲原有錢x文,乙原有錢y文,可得方程組( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,拋物線與直線交于C,D兩點,其中點C在y軸上,點D的坐標(biāo)為。點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點,過點P作PE⊥x軸于點E,交CD于點F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時,以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形?請說明理由;
(3)若存在點P,使∠PCF=450,請直接寫出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)。
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【題目】按要求作圖,不要求寫作法,但要保留作圖痕跡.
(1)如圖1,矩形ABCD的頂點A、D在圓上, B、C兩點在圓內(nèi),已知圓心O,請僅用無刻度的直尺作圖,請作出直線l⊥AD;
(2)請僅用無刻度的直尺在下列圖2和圖3中按要求作圖.(補上所作圖形頂點字母)
①圖2是矩形ABCD,E,F分別是AB和AD的中點,以EF為邊作一個菱形;
②圖3是矩形ABCD,E是對角線BD上任意一點(BE>DE),以AE為邊作一個平行四邊形.
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):
如圖1,在和中,,,,連接,交于點.
填空:①的值為 ;②的度數(shù)為 .
(2)類比探究:如圖2,在和中,,,,連接交的延長線于點.請求出的值及的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸:在(2)的條件下,將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),、所在直線交于點,若,,請直接寫出當(dāng)點與點重合時的長.
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【題目】如圖,點A,B,C三點均在⊙O上,⊙O外一點F,有OA⊥CF于點E,AB與CF相交于點G,有FG=FB,AC∥BF.
(1)求證:FB是⊙O的切線.
(2)若tan∠F=,⊙O的半徑為,求CD的長.
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