Question

【題目】我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”．

（1）概念理解：

如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，中，，，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問為何值時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長分別與，的延長線交于點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．

【解析】

（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；

（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可求解；

（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，得兩條中位線，根據(jù)中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進(jìn)而可得．

解：（1）是四邊形的準(zhǔn)中位線，理由如下：

∵，

∴．

又∵，，

∴，

∴，

∴．

又∵為中點(diǎn)，

∴為四邊形的準(zhǔn)中位線．

（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)．

①如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．

∴，解得：；

②如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．

∴，解得：，．

綜上：當(dāng)或或時(shí)，

為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．

（3）．證明如下：

如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，．

，分別是，的中點(diǎn)，

∴，，

∴．

∵分別是，的中點(diǎn)，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴．