Question

【題目】如圖，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF與AB、AC相交于點D、H，F(xiàn)C與AB相交于點G、AC相交于點D、H，F(xiàn)C與AB相較于點G．

（1）求證：△GBC≌△HEC；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BCED可以是某種特殊的平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當α=45°時，四邊形BCED為菱形，理由詳見解析.

【解析】

（1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根據(jù)“ASA”判斷△GBC≌△HEC；
（2）當α=45°時，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCF=∠ACE=45°，則可計算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判斷四邊形BCED為平行四邊形，加上CB=CE，則可判斷四邊形BCED為菱形．

（1）證明：∵BC=AC，∠ACB=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∵△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤90°），得到△EFC，

∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，

在△GBC和△HEC中

，

∴△GBC≌△HEC；

（2）解：當α=45°時，四邊形BCED為菱形．理由如下：

如圖，∵∠BCF=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，

而∠E=∠B=45°，

∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，

∴BD∥CE，BC∥DE，

∴四邊形BCED為平行四邊形，

∵CB=CE，

∴四邊形BCED為菱形．