【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B(0,1)和C(4,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上有一動點(diǎn)P,隨著點(diǎn)P的移動,存在點(diǎn)P使△PBC是直角三角形,請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā),以每秒a個單位的速度沿射線AC運(yùn)動,是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似?若存在,直接寫出a的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式y=x2–x+1;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(,0),(,0);(3)a=或.
【解析】
(1) 將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,通過聯(lián)立方程組可求得b、c的值,進(jìn)而求出函數(shù)解析式;
(2)設(shè)P(x,0),由△PBC是直角三角形,分∠CBP=90°與∠BPC=90°兩種情況討論,運(yùn)用勾股定理可得x的值,進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)假設(shè)成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,則對應(yīng)邊成比例,可求出a的值.
(1)∵二次函數(shù)y=0.5x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B(0,1)和C(4,3)兩點(diǎn),
∴,解得,
∴拋物線解析式y=x2–x+1.
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,0).
∵點(diǎn)P(x,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)C(4,3),
∴PB==,
CP= =,
BC= =2,
若∠BCP=90°,則BP2=BC2+CP2.
∴x2+1=20+x2–8x+25,∴x=.
若∠CBP=90°,則CP2=BC2+BP2.
∴x2+1+20=x2–8x+25,∴x=.
若∠BPC=90°,則BC2=BP2+CP2.
∴x2+1+x2–8x+25=20,
∴x1=1,x2=3,
綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(,0),(,0).
(3)a=或.
∵拋物線解析式y=x2–x+1與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)E,
∴0=x2–x+1,∴x1=1,x2=2,∴點(diǎn)D(1,0).
∵點(diǎn)B(0,1),C(4,3),
∴直線BC解析式y=x+1.
當(dāng)y=0時,x=–2,∴點(diǎn)A(–2,0).
∵點(diǎn)A(–2,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)D(1,0),
∴AD=3,AB=.
設(shè)經(jīng)過t秒,∴AP=2t,AQ=at,
若△APQ∽△ADB,
∴,即,∴a=,
若△APQ∽△ABD,∴,即,∴a=.
綜上所述:a=或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)圖像的一部分,對稱軸是直線x=﹣2.關(guān)于下列結(jié)論:①ab<0;②;③;④;⑤方程的兩個根為,其中正確的結(jié)論有( )
A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤
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【題目】水城門位于淀浦河和漕港河三叉口,是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重要的標(biāo)志性景觀.在課外實(shí)踐活動中,某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組決定測量該水城門的高.他們的操作方法如下:如圖,先在D處測得點(diǎn)A的仰角為20°,再往水城門的方向前進(jìn)13米至C處,測得點(diǎn)A的仰角為31°(點(diǎn)D、C、B在一直線上),求該水城門AB的高.(精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【題目】如圖,水平放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
求函數(shù)的表達(dá)式;
求點(diǎn)的坐標(biāo);
將沿軸正方向平移個單位后,判斷點(diǎn)能否落在函數(shù)的圖象上,請說明理由.
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【題目】在“五四青年節(jié)”來臨之際,某校舉辦了以“我的青春我做主”為主題的演講比賽. 并從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的演講成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(等級:A:優(yōu)秀,B:良好,C:一般,D:較差),并制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表(部分信息未給出):
等級 | 人數(shù) |
A | m |
B | 20 |
C | n |
D | 10 |
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息解答下列問題:
(1)這次共抽取了________名參加演講比賽的學(xué)生,統(tǒng)計(jì)圖中a=________,b=________;
(2)若該校學(xué)生共有2000人,如果都參加了演講比賽,請你估計(jì)成績達(dá)到優(yōu)秀的有多少人?
(3)若演講比賽成績?yōu)?/span>A等級的學(xué)生中恰好有2名女生,其余的學(xué)生為男生,從A等級的學(xué)生中抽取兩名同學(xué)參加全市演講比賽,求抽中一名男生和一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為直線x=﹣2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣5,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式,并求出頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),,直線與拋物線交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn)(不與,重合),過點(diǎn)作軸的垂線,交軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),若,線段是否存在最大值?若存在,請求出最大值,若不存在,請說明理由;
(3)若軸上存在一點(diǎn),使得時,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在扇形AOB中,OA=OB=4,∠AOB=120°,點(diǎn)C是弧AB上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),射線AD與扇形AOB所在⊙O相切,點(diǎn)P在射線AD上,連接AB,OC,CP,若AP=2,則CP的取值范圍是_____.
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【題目】定義一種對正整數(shù)n的“C運(yùn)算”:①當(dāng)n為奇數(shù)時,結(jié)果為3n+1;②當(dāng)n為偶數(shù)時,結(jié)果為(其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù))并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行,例如,n=66時,其“C運(yùn)算”如下:
若n=26,則第2019次“C運(yùn)算”的結(jié)果是_____.
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