Question

【題目】如圖，正方形中，是對角線上一個動點，連結，過作，，

，分別為垂足．

（1）求證：；

（2）①寫出、、三條線段滿足的等量關系，并證明；②求當，時，的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①GE2＋GF2＝AG2，證明見解析；②的長為或．

【解析】

（1）根據正方形的性質得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，可得GE＝DG，GF＝BG，結合AB＝BD即可得出結論；

（2）①連接CG，由SAS證明△ABG≌△CBG，得出AG＝CG，證出四邊形EGFC是矩形，得出CE＝GF，由勾股定理即可得出GE2＋GF2＝AG2；

②設GE＝CF＝x，則GF＝BF＝6x，由①中結論得出方程求出CF＝1或CF＝5，再分情況討論，由勾股定理求出BG即可．

解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB＝BD，

∵GE⊥CD，GF⊥BC，

∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，

∴GE＝DG，GF＝BG，

∴GE＋GF＝（DG＋BG）＝BD，

∴GE＋GF＝AB；

（2）①GE2＋GF2＝AG2，

證明：連接CG，如圖所示：

在△ABG和△CBG中，，

∴△ABG≌△CBG（SAS），

∴AG＝CG，

∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，

∴四邊形EGFC是矩形，

∴CE＝GF，

∵GE2＋CE2＝CG2，

∴GE2＋GF2＝AG2；

②設GE＝CF＝x，則GF＝BF＝6x，

∵GE2＋GF2＝AG2，

∴，

解得：x＝1或x＝5，

當x＝1時，則BFGF＝5，

∴BG＝，

當x＝5時，則BF＝GF＝1，

∴BG＝，

綜上，的長為或．