【題目】已知,點(diǎn)不在同一條直線上,

1)如圖①,當(dāng)時(shí),求的度數(shù);

2)如圖②,分別為的平分線所在直線,試探究的數(shù)量關(guān)系;

3)如圖③,在(2)的前提下且,,直接寫的值

【答案】1120°;(22AQB+C=180°;(3)∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.

【解析】

1)過(guò)點(diǎn)CCFAD,則CFBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ACF=A、∠BCF=180°-B,將其代入∠ACB=ACF+BCF即可求出∠ACB的度數(shù);

2)過(guò)點(diǎn)QQMAD,則QMBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出∠AQB=(CBE-CAD),結(jié)合(1)的結(jié)論可得出2AQB+C=180°;

3)由(2)的結(jié)論可得出∠CAD=CBE①,由QPPB可得出∠CAD+CBE=180°②,聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數(shù),再結(jié)合(1)的結(jié)論可得出∠ACB的度數(shù).

解:(1)在圖①中,過(guò)點(diǎn)CCFAD,則CFBE

CFADBE,

∴∠ACF=A,∠BCF=180°-B,

∴∠ACB=ACF+BCF=180°-(∠B-A=180°-(118°-58°)=120°

2)在圖2中,過(guò)點(diǎn)QQMAD,則QMBE

QMAD,QMBE,

∴∠AQM=NAD,∠BQM=EBQ

AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,

∴∠NAD=CAD,∠EBQ=CBE

∴∠AQB=BQM-AQM=(CBE-CAD)

∵∠C=180°-(CBE-CAD)=180°-2AQB,

2AQB+C=180°

3)∵ACQB,

∴∠AQB=CAP=CAD,∠ACP=PBQ=CBE,

∴∠ACB=180°-ACP=180°-CBE

2AQB+ACB=180°,

∴∠CAD=CBE

又∵QPPB,

∴∠CAP+ACP=90°,即∠CAD+CBE=180°,

∴∠CAD=60°,∠CBE=120°,

∴∠ACB=180°-(∠CBE-CAD=120°,

故∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.

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2)點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接DM,AM.

①依題意將圖2補(bǔ)全;

②小姚通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有DA=AM,小姚把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過(guò)討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:要證明DA=AM,只需證△ADM是等邊三角形;

想法2:連接CM,只需證明△ABD≌△ACM即可.

請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小姚證明DA=AM(一種方法即可).

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