Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN=60°．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】解：CN=MN+BM
證明：在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中， ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND與△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．

【解析】先求證△MBD≌△ECD可得MD=DE，∠MDB=∠EDC，進(jìn)而求證△MND≌△END，即可得MN=NE，即可證明CN=NE+CE=MN+BM，即可解題．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等邊三角形的性質(zhì)，需要了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能得出正確答案．