【題目】某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型:
直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線上存在點(diǎn)P,使得PA+PB的值最。夥ǎ喝鐖D1,作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連接,則與直線l的交點(diǎn)即為P,且PA+PB的最小值為.
請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題:
(1)幾何應(yīng)用:如圖2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,E是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn),則PA+PE的最小值為 ;
(2)代數(shù)應(yīng)用:求代數(shù)式+ (0≤x≤3)的最小值.
(3)幾何拓展:如圖3,△ABC中,AC=2,∠A=30°,若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小,最小值是 ;
【答案】(1).(2)5.(3).
【解析】
(1)根據(jù)軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題解答;
(2)作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,連接ED交BC于P,則PA+PE的值最小,連接BD,根據(jù)勾股定理求出DE即可.
(3)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′,根據(jù)垂線段最短及兩點(diǎn)之間,線段最短可知當(dāng)B′、M、N三點(diǎn)共線且B′N⊥AB時(shí)BM+MN的值最。
(1)
如圖,PA+PE的最小值為A’E的長(zhǎng)度
作EF⊥AC,∵E是AB的中點(diǎn)
∴EF= ,
∴ .
(2)構(gòu)造圖形如圖所示,
其中:AB=3,AC=1,DB=3,AP=x,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.
∵PC+PD=+,
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值.
作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',過(guò)C' 作C' E垂直DB的延長(zhǎng)線于E.
則C' E=AB=3,DE=3+1=4,C' D==5
∴所求代數(shù)式的最小值是5.
(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,過(guò)B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.
此時(shí)BM+MN的值最。BM+MN=B′N.
理由:如圖1,在AC上任取一點(diǎn)M1(不與點(diǎn)M重合),
在AB上任取一點(diǎn)N1,連接B′M1、BM1、M1N1、B′N1.
∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱,
∴BM1=B′M1,
∴BM1+M1N1=B′M1+M1N1>B′N1.
又∵B′N1>B′N,BM+MN=B′N,
∴BM1+M1N1>BM+MN.
計(jì)算:如圖2
∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱,
∴AB′=AB,
又∵∠BAC=30°,
∴∠B′AB=60°,
∴△B′AB是等邊三角形.
∴B′B=AB=2,∠B′BN=60°.
又∵B′N⊥AB,
∴B′N=B′Bsin60°= .
∴BM+MN的最小值是.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)B在線段AC上,點(diǎn)E在線段BD上,∠ABD=∠DBC,AB=DB,EB=CB,M,N分別是AE,CD的中點(diǎn)。試探索BM和BN的關(guān)系,并證明你的結(jié)論。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,點(diǎn)P沿著邊按B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng),開(kāi)始以每秒m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)、a秒后變?yōu)槊棵?/span>2個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),b秒后恢復(fù)原速勻速運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)直接寫出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬;
(2)求m,a,b的值;
(3)當(dāng)P點(diǎn)在AD邊上時(shí),直接寫出S與t的函數(shù)解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′ 恰好落在CD上,若∠BAD=110°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A.40°B.35°C.60°D.70°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李克強(qiáng)總理說(shuō):”一個(gè)國(guó)家養(yǎng)成全民閱讀習(xí)慣非常重要…我希望全民閱讀能夠形成一種氛圍,無(wú)處不在.“為了響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召,某”希望“學(xué)校的全體師生掀起了閱讀的熱潮.下面是該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖與學(xué)生在4月份閱讀課外書籍人次的統(tǒng)計(jì)圖表,其中七年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為240人.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
圖書種類 | 頻數(shù) | 頻率 |
科普書籍 | A | B |
文學(xué) | 1200 | C |
漫畫叢書 | D | 0.35 |
其他 | 200 | 0.05 |
(1)該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角為______°,該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為______人;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)為了鼓勵(lì)學(xué)生讀書,學(xué)校決定在“五四”青年節(jié)舉行兩場(chǎng)讀書報(bào)告會(huì).報(bào)告會(huì)的內(nèi)容從“科普書籍”“文學(xué)”“漫畫叢書”“其他”中任選兩個(gè).用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求兩場(chǎng)報(bào)告會(huì)的內(nèi)容恰好是“科普書籍”與“漫畫叢書”的概率.(“科普書籍”“文學(xué)”“漫畫叢書”“其他”,可以分別用K,W,M,Q來(lái)表示)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°,兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積( )
A. 不變 B. 先增大再減小 C. 先減小再增大 D. 不斷增大
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)補(bǔ)充完整:
如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連結(jié)EF,試說(shuō)明DE+BF=EF.
解:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,GB=ED,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°.
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上.
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
∴∠GAF=∠ .
又∵AG=AE,AF=AF.
∴△GAF≌ .
∵ =EF.
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF.
(2)類比引申:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí),有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過(guò)程.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),當(dāng)四邊形APQC的面積最小時(shí),經(jīng)過(guò)的時(shí)間為( )
A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BC=6, .求BE的長(zhǎng).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com