【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上一點,F(xiàn)是線段BC延長線上一點,且CF=AE,連接BE、EF。
(1)若E是線段AC的中點,如圖1,易證:BE=EF(不需證明);
(2)若E是線段AC或AC延長線上的任意一點,其它條件不變, 如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關系,直接寫出你的猜想;并選擇一種情況給予證明。
【答案】(2)BE=EF,證明見解析
【解析】解:(2)圖2:BE=EF。圖3。
圖2證明如下:過點E作EG∥BC,交AB于點G,
∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形。
∴AB=AC,∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=120°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。∴BE=EF。
(1)根據(jù)菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得∠CBE=∠ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等邊對等角的性質可得∠F=∠CEF,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠F=30°,從而得到∠CBE=∠F,根據(jù)等角對等邊的性質即可證明。
(2)圖2,過點E作EG∥BC,交AB于點G,
根據(jù)菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質得到AB=AC,∠ACB=60°,再求出△AGE是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質得到AG=AE,從而可以求出BG=CE,再根據(jù)等角的補角相等求出∠BGE=∠ECF=120°,然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證。
圖3,證明思路與方法與圖2完全相同, 證明如下:
過點E作EG∥BC交AB延長線于點G,
∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形。
∴AB=AC∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。∴BE=EF。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(4,0)和點B(0,3),點C是AB的中點,點P在折線AOB上,直線CP截△AOB,所得的三角形與△AOB相似,那么點P的坐標是__________.
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【題目】已知一個模型的三視圖如圖所示(單位:m).
(1)請描述這個模型的形狀;
(2)制作這個模型的木料密度為360 kg/m3,則這個模型的質量是多少千克?
(3)如果要給這個模型刷油漆,每千克油漆可以漆4 m2,需要油漆多少千克?
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【題目】如圖,菱形AB1C1D1的邊長為1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于點D2,以AD2為一邊,做第二個菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于點D3,以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…則AD2=_____,依此類推這樣做的第n個菱形ABnCnDn的邊ADn的長是_____.
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【題目】某市對2400名年滿15歲的男生的身高進行了測量,結果身高(單位:m)在1.68~1.70這一小組的頻率為0.25,則該組的人數(shù)為
A. 600人 B. 150 人 C. 60人 D. 15人
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【題目】小明和小剛用如圖所示的兩個轉盤做配紫色游戲,游戲規(guī)則是:分別旋轉兩個轉盤,若其中一個轉盤轉出了紅色,另一個轉出了藍色則可以配成紫色.此時小剛得1分,否則小明得1分.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請說明理由.若你認為不公平,如何修改規(guī)則才能使游戲對雙方公平?
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【題目】已知菱形A1B1C1D1的邊長為2,∠A1B1C1=60°,對角線A1C1,B1D1相交于點O.以點O為坐標原點,分別以OA1,OB1所在直線為x軸、y軸,建立如圖所示的直角坐標系.以B1D1為對角線作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2為對角線作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2為對角線作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此規(guī)律繼續(xù)作下去,在x軸的正半軸上得到點A1,A2,A3,…,An,則點An的坐標為____________.
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【題目】下列說法正確的是( )
A “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間降雨
B “拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示每拋硬幣2次就有1次出現(xiàn)正面朝上
C “彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定會中獎
D “拋一枚正方體骰子朝正面的數(shù)為奇數(shù)的概率是0.5“表示如果這個骰子拋很多很多次,那么平均每2次就有1次出現(xiàn)朝正面的數(shù)為奇數(shù)
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