Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）已知點(diǎn)F（0，），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，試求當(dāng)m為何值時以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣時，四邊形DMQF是平行四邊形．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解可得；

（2）利用△BOD∽△QBM得，再證△MBQ∽△BPQ得，解之即可得此時m的值．

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y=x-2，則Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，解之可得．

（1）由拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），

將點(diǎn)C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，

解得：a＝﹣，

則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；

（2）如圖所示：

∵當(dāng)△BOD∽△QBM時，

則，

∵∠MBQ＝90°，

∴∠MBP+∠PBQ＝90°，

∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，

∴∠MBP+∠BMP＝90°，

∴∠BMP＝∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∴，

解得：m1＝3、m2＝4，

當(dāng)m＝4時，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，

∴m＝3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；

（3）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣2），

設(shè)直線BD解析式為y＝kx+b，

將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直線BD解析式為y＝x﹣2，

∵QM⊥x軸，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），

則QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF＝，

∵QM∥DF，

∴當(dāng)|﹣m2+m+4|＝時，四邊形DMQF是平行四邊形，

解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣

即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣時，四邊形DMQF是平行四邊形．