Question

【題目】如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，CE與AD、AB分別交于點(diǎn)F、G，連接BE、BF、GD

求證：(1) △BEF為等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）連接DE，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和線段垂直平分線的性質(zhì)，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根據(jù)直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得證；

（2）作∠ACB的平分線交AD于M，根據(jù)ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根據(jù)SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.

試題解析：（1）連接DE，

∵點(diǎn)E、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，∴AD為CE的垂直平分線，

∴CD=DE，∵D為CB中點(diǎn)，∴CD=DE=DB，

∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，

∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，

∴∠CEB=90°，

∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，

∴∠ECB=∠CAF，

在△ACF和△CBE中，

∵

∴△ACF≌△CBE（AAS），

∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，

∴△EFB為等腰直角三角形.

（2）作∠ACB的平分線交AD于M，

在△ACM和△CBG中，

∵

∴△ACM≌△CBG（ASA），

∴CM=BG，

在△DCM和△DBG中，

∵

∴△DCM≌△DBG（SAS），

∴∠ADC=∠GDB.