Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且A點坐標為（-6，0）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解方程x²-10x+16=0得到二次函數(shù)圖象上的點B、C的坐標，再結合A的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）用m表述出AE、BE的長，長出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式

EF

10

=

8-m

8

，求出EF的表達式，利用sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

得到

FG

EF

=

4

5

，求出FG的表達式，再根據(jù)S=S_△BCE-S_△BFE
求S與m之間的函數(shù)關系，m的值不超過AB的長．
（3）將S=-

1

2

m²+4配方為S=-

1

2

（m-4）²+8，求出S的最大值，進而判斷出此時△BCE的形狀．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴A、B、C三點的坐標分別是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8），
∵點C（0，8）在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，
∴c=8．
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式y(tǒng)=ax²+bx+8，得

36a-6b+8=0 4a+2b+8=0

，
∴所求二次函數(shù)的表達式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．
（2）∵AB=8，OC=8，依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．
即

EF

10

=

8-m

8

．
∴EF=

40-5m

4

．
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．
∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE
=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）
=

1

2

（8-m）m
=-

1

2

m²+4m．
自變量m的取值范圍是0＜m＜8．
（3）存在．
理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，
∴點E的坐標為（-2，0）．
∴△BCE為等腰三角形．

點評：本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)和方程的關系、二次函數(shù)的性質(zhì)、配方法求函數(shù)最大值等知識，是一道好題．