已知:二次函數(shù)y=x2-2(m-1)x-1-m的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,與y軸交于點C,且滿足
1
AO
-
1
OB
=
2
CO

(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q,使y軸平分△CPQ的面積?若存在,求出k、b應滿足的條件;若不存在,請說明理由.
分析:(1)本題要先化簡題中給出的OA,OB,OC的比例關(guān)系式,然后根據(jù)韋達定理用m替換掉經(jīng)過化簡的比例關(guān)系式中OA,OB的值,而OC=1+m,因此可得出一個關(guān)于m的方程,即可求出m的值,也就能求出拋物線的解析式.
(2)如果存在這樣的直線,那么被y軸平分的△CPQ中,兩個小三角形應該同底,面積相等,因此等高.即P,Q兩點的橫坐標互為相反數(shù).聯(lián)立直線的解析式和(1)的拋物線的解析式,可得出一個關(guān)于x的一元二次方程,那么根據(jù)兩個互為相反數(shù)可得出k的值.
而這兩個函數(shù)的交點有兩個,因此方程的△>0,根據(jù)這兩個條件即可的k,b應滿足的條件.
解答:解:(1)∵x1<0<x2,
∴AO=-x1,OB=x2,
又∵a=1>0,
∴CO=m+1>0,
∴m>-1,
1
AO
-
1
OB
=
2
CO
,
∴CO(OB-AO)=2AO•OB,
即(m+1)(x1+x2)=-2x1x2
∵x1+x2=2(m-1),x1x2=-(1+m),
∴(m+1)•2(m-1)=2(1+m),
解得,m=-1(舍去),m=2.
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

(2)存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q,使y軸平分△CPQ的面積,
設點P的橫坐標為xP,點Q的橫坐標為xQ,直線與y軸交于點E
∵S△PCE=S△QCE
1
2
CE•|xP|=
1
2
CE•|xQ|,
∴|xP|=|xQ|,
∵y軸平分△CPQ的面積,
∴點P、Q在y軸異側(cè),
即xP=-xQ,
y=kx+b
y=x2-2x-3
,
得x2-(k+2)x-(b+3)=0(1)xP,xQ為(1)的兩根,
∴xP+xQ=k+2=0,
∴k=-2,
又∵直線與拋物線有兩個交點,
∴b+3>0,即b>-3,
∴當k=-2且b>-3時直線y=kx+b與拋物線交于點P,Q使y軸平分△CPQ的面積.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,韋達定理的應用等知識點.
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(1)求B、C兩點的坐標;
(2)求這個二次函數(shù)的解析式.

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x 0 1 2 3 4 5
y 3 0 -1 0 m 8
(1)可求得m的值為
3
3

(2)求出這個二次函數(shù)的解析式;
(3)當0<x<3時,則y的取值范圍為
-1≤y<3
-1≤y<3

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