【題目】已知:如圖①,BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB,BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線.

(1)∠BAC=40°時,∠BPC=   ,∠BQC=   

(2)BM∥CN時,求∠BAC的度數(shù);

(3)如圖,當∠BAC=120°時,BM、CN所在直線交于點O,直接寫出∠BOC的度數(shù).

【答案】(1) 70°,125°;(2)BAC=60° (3) 45°

【解析】

(1)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠DBC與∠BCE,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBP+∠BCP,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;根據(jù)角平分線的定義得出∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,求出∠QBC+∠QCB的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MBC+∠NCB=180°,依此求解即可;
(3)根據(jù)題意得到∠MBC+∠NCB,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC的度數(shù).

(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,

∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,

∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線,

∴∠CBP+∠BCP=(∠DBC+∠BCE)=110°,

∴∠BPC=180°﹣110°=70°,

∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線,

∴∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,

∴∠QBC+∠QCB=55°,

∴∠BQC=180°﹣55°=125°;

(2)∵BM∥CN,

∴∠MBC+∠NCB=180°,

∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線,

(∠DBC+∠BCE)=180°,

(180°+∠BAC)=180°,

解得∠BAC=60°;

(3)∵∠BAC=120°,

∴∠MBC+∠NCB=(∠DBC+∠BCE)=(180°+α)=225°,

∴∠BOC=225°﹣180°=45°.

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