【題目】如圖,

1)如圖,BDCD∠ABC∠ACB的角平分線且相交于點D,若∠A =70°,試求∠BDC的度數(shù),并說明理由。

2)如圖BD、CD分別是△ABC外角∠EBC∠FCB的平分線且相交于點D,若∠A =x°,試用x表示∠BDC的度數(shù),并說明理由。

3)如圖③,BDCD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線且相交于點D,試找出∠A∠BDC之間的數(shù)量關系,并說明理由。

【答案】1)∠BDC125°,理由見解析;(2)∠BDC90°,理由見解析;(3)∠BDCA,理由見解析.

【解析】

1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB110°,再根據(jù)角平分線的性質和三角形內(nèi)角和定理求解即可;

2)先根據(jù)外角平分線的性質求出∠CBD(∠A+∠ACB),∠BCD(∠A+∠ABC),再由三角形內(nèi)角和定理解答即可;

3)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC,再根據(jù)角平分線的定義可得∠DBCABC,∠DCEACE,然后整理可得∠BDCA.

解:(1)∠BDC125°,

理由:∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線,

∴∠DBCABC,∠DCBACB

∵∠ABC+∠ACB180°A110°,

∴∠BDC180°DBCDCB180°(∠ABC+∠ACB)=180°55°125°

2)∠BDC90°;

理由:∵BDCD分別是ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線,

∴∠CBD(∠A+∠ACB),∠BCD(∠A+∠ABC),

∵∠ABC+∠ACB180°A,

∴∠BDC180°CBDBCD

180°(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC

180°2A180°A

90°A

即∠BDC90°

3)∠BDCA,

理由:由三角形的外角性質可得,∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC,

BDCD分別是∠ABCACB外角∠ACE的平分線,

∴∠DBCABC,∠DCEACE,

(∠A+∠ABC)=∠DABC

∴∠BDCA.

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