Question

【題目】如圖1，AD、BD分別是的內角∠BAC、∠ABC的平分線，過點A作AE⊥AD，交BD的延長線于點E．

（1）求證：；

（2）如圖2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；

（3）如果∠ABC是銳角，且與相似，求∠ABC的度數(shù)，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者

【解析】

(1)先根據(jù)題意證明以及，再適當變形即可得到答案；

(2)先根據(jù)角平分線的性質和直線平行的性質證明△BAF≌△CAF，再根據(jù)全等三角形的性質得到BF=CF，再根據(jù)BD：DE=2：3，計算即可得到答案；

(3)根據(jù)△ABC與△ADE相似，∠DAE=90°，因此△ABC中必有一個內角為90°，再根據(jù)∠ABC是銳角，得到∠ABC≠90°，再分情況討論即可得到答案；

（1）證明：如圖1中，

∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，

∴ ，

同理可得： ，

∴

，

（2）解：延長AD交BC于點F．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，

∴∠AFB=∠AFC=90°，

在△BAF和△CAF中，

∴△BAF≌△CAF(ASA)，

∴BF=CF（全等三角形對應邊相等），

∵BD：DE=2：3

∴，

∴；

(3) ∵△ABC與△ADE相似，∠DAE=90°，
∴△ABC中必有一個內角為90°
∵∠ABC是銳角，
∴∠ABC≠90°．
①當∠BAC=∠DAE=90°時，

∵（由(1)知），

∵∠ABC+∠C=90°，

∴∠ABC=30°，

∴此時，

②當∠C=∠DAE=90°時，，

∴∠EDA=45°，
∵△ABC與△ADE相似，
∴∠ABC=45°，

此時，

綜上，∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者；