Question

【題目】正方形四邊條邊都相等，四個角都是90°．如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，點E是直線MN上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．

（1）如圖1，當(dāng)點E在線段BC上（不與點B、C重合）時：

①判斷△ADG與△ABE是否全等，并說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，觀察并猜測線段BE與線段CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點E在射線CN上（不與點C重合）時：

①判斷△ADG與△ABE是否全等，不需說明理由；
②過點F作FH⊥MN，垂足為點H，已知GD=4，求△CFH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：①△BAE≌△DAG．理由如下：

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG．

∴△BAE≌△DAG；

②CH=BE．理由如下：

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射線CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，

∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，

∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，

∴EH=AD=BC，

∴CH=BE．

（2）解：①△BAE≌△DAG．理由如下：

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，

∴在Rt△BAE與Rt△DAG中，

∴△BAE≌△DAG；（HL）

②由（1）同理可得：△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，

∴GD=FH=CH=4，

∴△CFH的面積為： FHCH= ×4×4=8

【解析】（1）①利用正方形的性質(zhì)及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；②利用正方形的性質(zhì)及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）①利用HL定理證明△BAE≌△DAG即可；②利用△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，即可得出GD=FH=CH=4，再利用△CFH的面積公式求出．