Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：

①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；

②若a=﹣1，則b=3；

③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；

④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6．

其中真命題的序號(hào)是____________．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號(hào)；

（2）根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；

（3）根據(jù)，由x1＜1＜x2，從而得到Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，由圖象性質(zhì)判斷出y1＞y2；

（4）作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，DE和的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值，求出D、E、、的坐標(biāo)即可解答．

（1）當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過一、四象限，當(dāng)0<x<b時(shí)，y>0；當(dāng)x>b時(shí)，y<0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

（2）二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-=1，點(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)a=-1時(shí)，有=1，解得b=3，故本選項(xiàng)正確；

（3）∴x1+x2＞2，

∴，

又∵x1＜1＜x2，

∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

∵函數(shù)圖象開口向下，

∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；

（4）如圖，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值，

當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則為（-1，4），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則E為（2，3），為（2，-3）則DE=，=，

∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，

∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故答案為：②③．