Question

設(shè)p,q都是實數(shù)，且．我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當時，有，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；
（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；
（3）若實數(shù)c，d滿足，且，當二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時，求c，d的值．

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）或；（3），.

解析試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行判斷.
（2）根據(jù)新定義運算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值.
（3）由于函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據(jù)圖象，分和兩種情況討論即可.　
試題解析：（1）是. 由函數(shù)的圖象可知，當時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減少，而當時，；時，，故也有，
所以，函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．
（2）因為一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，必有：
①當時，，解之得．
∴一次函數(shù)的解析式為．
②當時，，解之得．
∴一次函數(shù)的解析式為．
故一次函數(shù)的解析式為或．
（3）由于函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據(jù)圖象，分以下兩種情況討論：
①當時，必有時，且時，，
即方程必有兩個不等實數(shù)根，解得．
而0，6分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；
②當時，必有函數(shù)值y的最小值為，
由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，故必有，從而有.
而當時，，即得點；
又點關(guān)于對稱軸的對稱點為，
由“閉函數(shù)”的定義可知必有時，，即 ，解得．
故可得，符合題意．
綜上所述，，為所求的實數(shù)．
考點：1.新定義；2.反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)；3.解二元方程組；4.分類思想的應(yīng)用.