【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y甲,線段BP的長度記作y乙,y甲和y乙關于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒 cm,當t為何值時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是 ;
(2)設四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQCM=S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(4)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)2,E( ,);(2)y= t2﹣8t+40;(3)存在;(4)t= s時,點M在線段PC的垂直平分線上.
【解析】試題分析:(1)先由圖2判斷出點M的速度為2cm/s,PQ的運動速度為1cm/s,再由四邊形PQCM為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質得到對邊平行,進而得到AP=AM,列出關于t的方程,求出方程的解得到滿足題意t的值;
(2)根據(jù)PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC,根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知△BPQ也為等腰三角形,即BP=PQ=t,再用含t的代數(shù)式就可以表示出BF,進而得到梯形的高PE=DF=8-t,又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t,所以梯形的下底CM=10-2t.最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y與t的關系式;
(3)根據(jù)三角形的面積公式,先求出三角形ABC的面積,又根據(jù)S四邊形PQCM=S△ABC,求出四邊形PQCM的面積,從而得到了y的值,代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可;
(4)假設存在,則根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC,過點M作MH垂直AB,由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB,由相似得到對應邊成比例進而用含t的代數(shù)式表示出AH和HM的長,再由AP的長減AH的長表示出PH的長,從而在直角三角形PHM中根據(jù)勾股定理表示出MP的平方,再由AC的長減AM的長表示出MC的平方,根據(jù)兩者的相等列出關于t的方程進而求出t的值.
試題解析:(1)由圖2得,點M的運動速度為2cm/s,PQ的運動速度為1cm/s,
∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,
∴AP:AB=AM:AC,
∵AB=AC,
∴AP=AM,即10﹣t=2t,
解得:t=,
∴當t=時,四邊形PQCM是平行四邊形,此時,圖2中反映這一情況的點是E( ,)
故答案為:2,E(,).
(2)∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,
∴ ,即 ,
解得:BF= t,
∴FD=BD﹣BF=8﹣t,
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,
∴y= (PQ+MC)FD=(t+10﹣2t)(8﹣t)=t2﹣8t+40;
(3)存在;
∵S△ABC=ACBD=×10×8=40,
當S四邊形PQCM=S△ABC時,y= t2﹣8t+40=20,
解得:t=10﹣5 ,或t=10+5(不合題意,舍);
即:t=10﹣5時,S四邊形PQCM=S△ABC.
(4)假設存在某一時刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,
過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:
∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,
∴△AHM∽△ADB,
∴ ,
又∵AD=6,
∴ ,
∴HM= t,AH=t,
∴HP=10﹣t﹣t=10﹣t,
在Rt△HMP中,MP2=(t)2+(10﹣t)2=t2﹣44t+100,
又∵MC2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,
∵MP2=MC2,
∴t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2,
解得 t1= ,t2=0(舍去),
∴t=s時,點M在線段PC的垂直平分線上.
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【題目】已知直線y=ax+b(a≠0)經(jīng)過點A(﹣3,0)和點B(0,2),那么關于x的方程ax+b=0的解是( )
A.x=﹣3
B.x=﹣1
C.x=0
D.x=2
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【題目】如圖,在長方形 中, , ,點 從點 出發(fā),以 的速度沿 向點 運動,設點 的運動時間為 秒:
(1) .(用 的代數(shù)式表示)
(2) 當 為何值時,
(3)當點 從點 開始運動,同時,點 從點 出發(fā),以 v 的速度沿 向點 運動,是否存在這樣的v 值,使得 全等?若存在,請求出 v的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,過點D作DE∥AC且DE= AC,連接AE交OD于點F,連接CE、OE.
(1)求證:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,求AE的長.
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【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于點D,經(jīng)過B、D兩點的⊙O交AB 于點E,交BC于點F,EB為⊙O的直徑.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)當BC=2,cos∠ABC=時,求⊙O的半徑.
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