Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，四個頂點的坐標分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2

3

），C（0，2

3

），點P在線段OA上（不與O、A重合），將紙片折疊，使點A落在射線AB上（記為點A’），折痕PQ與射線AB交于點Q，設OP=x，折疊后紙片重疊部分的面積為y．（圖②供探索用）
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出對應的x的取值范圍；
（3）y存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A、B的坐標來求，根據B的縱坐標的絕對值：A、B橫坐標的差的絕對值，可得出∠OAB的度數(shù)得出∠BAO的度數(shù)，
（2）利用當點A′在線段AB上時，∠OAB=60°，PA=PA′，進而求出△A′PA是等邊三角形，且QP⊥QA′，即可得出y=S_△AQP=

1

2

A′Q•QP求出即可；當點A′在線段AB的延長線，且點Q在線段AB（不與B重合）上時，紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖②，其中E是PA′與CB的交點），
當點Q與B重合時，分別求出即可；
（3）可分成三種情況進行討論：
①當A′在AB上時，即當6≤x＜10時，可根據（2）的函數(shù)來求出此時y的最大值；
②當A′在AB延長線上但Q在AB上時，即當2≤x＜6時，此時重合部分的面積=三角形AA′P的面積-上面的小三角形的面積，根據AQ和AB的長，我們可得出A′B的長，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當A′在AB延長線上且Q也在AB延長線上時，即當0＜x＜2時，重合部分的面積就是三角形EFQ的面積，那么關鍵是求出BF，BE的值，知道了AP的長，也就知道了AQ，A′Q的長，根據AB=4我們不難得出BQ的長，有了BQ的長就可以求出A′B，BE的長，在直角三角形BQE中，可根據∠QBF的度數(shù)，和BQ的長，來表示出BF的長，這樣我們就能表示出EF的長了，又知道EF邊上的高是OC的長，因此可根據三角形的面積來求出S的值，然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）∵兩底邊OA=10，CB=8，垂直于底的腰 OC=2

3

，
∴tan∠OAB=

2 3

10-8

=

3

，
∴∠OAB=60°．

（2）當點A′在線段AB上時，
∵∠OAB=60°，PA=PA′，
∴△A′PA是等邊三角形，且QP⊥QA′，
∴PQ=（10-x）sin60°=

3

2

（10-x），A′Q=AQ=

1

2

AP=

1

2

（10-x），
∴y=S_△AQP=

1

2

A′Q•QP=

3

8

（10-x）²，
當A?與B重合時，AP=AB=

3

sin60°

=4，
所以此時6≤x＜10；
當點A′在線段AB的延長線，且點Q在線段AB（不與B重合）上時，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖②，其中E是PA′與CB的交點），
當點Q與B重合時，AP=2AB=8，點P的坐標是（2，0），
又由（2）中求得當A?與B重合時，P的坐標是（6，0），
所以當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2＜x＜6；

（3）y存在最大值．
①當6≤x＜10時，y=

3

8

（10-x）²，
在對稱軸x=10的左邊，S的值隨著x的增大而減小，
∴當x=6時，y的值最大是2

3

；
②當2≤x＜6時，由圖②，重疊部分的面積y=S_△A′QP-S_△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴y=

3

8

（10-x）²-

1

2

（10-x-4）²×

3

2

=

3

8

（-x²+4x+28）=-

3

8

（x-2）²+4

3

，
當x=2時，y的值最大是4

3

；
③當0＜x＜2，即當點A′和點Q都在線段AB的延長線是（如圖③，其中E是PA?與CB的交點，F(xiàn)是QP與CB的交點），
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF，四邊形EPAB是等腰形，
∴EF=EP=AB=4，
∴y=

1

2

EF•OC=

1

2

×4×2

3

=4

3

．
綜上所述，S的最大值是4

3

，此時x的值是0＜x≤2．

點評：此題考查了代數(shù)與幾何結合的綜合題，其中有分類思想的滲透．主要問題是在解題中計算三角形面積時沒有除以2，或分類情況不全面，或對于取值范圍的處理不到位．特別是認為只存在一個x的值使得面積最大，導致失分較多．更多是缺乏對復雜問題的分析能力，導致不會做．